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Polynom-kgV-Rechner mit dem ggT-Verfahren

Finden Sie das kleinste Polynom, das beide teilen: x² − 3x + 2 und x² − 1 haben x − 1 gemeinsam, ihr kgV ist daher x³ − 2x² − x + 2 vom Grad 3. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

Erster Text: 1, -3, 2
Zweiter Text: 1, 0, -1

Erhalten Sie

Gcd: 1, -1
Produkt: 1, -3, 1, 3, -2
Lcm: 1, -2, -1, 2
Grad des kgV: 3

Dieser Rechner bestimmt das kgV zweier Polynome aus dichten, nach fallendem Grad geordneten Koeffizientenlisten. Zuerst ermittelt er mit dem euklidischen Algorithmus den normierten ggT, multipliziert anschließend die ursprünglichen Polynome und teilt das Produkt durch den gemeinsamen Faktor. Das Ergebnis wird normiert, damit unterschiedliche von null verschiedene Skalarfaktoren dieselbe Darstellung liefern. Die Antwort enthält Eingaben, ggT, Produkt, kgV, lesbare Polynomformen und die Zahl der ggT-Schritte. Die Berechnung ist deterministisch und benötigt weder Netzwerk noch Zufall oder Zeit.

Was das kgV von Polynomen bedeutet

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier von null verschiedener Polynome ist das Polynom kleinsten Grades, das durch beide teilbar ist, bis auf die Multiplikation mit einer von null verschiedenen Konstanten. Da diese Konstante beliebig ist, liefert der Rechner den normierten Vertreter mit führendem Koeffizienten eins. Eingaben sind dichte Listen von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied.

Damit steht [1, -3, 2] für x^2 - 3x + 2 und [1, -1] für x - 1. Teilt das zweite Polynom bereits das erste, ist das kgV die normierte Form des ersten. Sind beide teilerfremd, ist ihr ggT eins und das kgV die normierte Produktform.

Ist genau eine Eingabe null, lautet das Ergebnis null. Das Paar [0] und [0] wird abgelehnt, weil gcd(0, 0) in diesem Vertrag nicht definiert ist. Führende Nullen werden vor der Rechnung entfernt.

Die Antwort gibt Listen und lesbare Ausdrücke für ggT, Produkt und kgV aus und eignet sich dadurch sowohl für Programme als auch zur Kontrolle schriftlicher Algebra.

Wie Produkt geteilt durch ggT berechnet wird

Das Verfahren nutzt lcm(a, b) = monic((a * b) / gcd(a, b)). Zunächst wird der euklidische ggT der Koeffizientenvektoren berechnet. In jedem Schritt erzeugt die Polynomdivision einen Rest; der vorherige Divisor und dieser Rest bilden das nächste Paar.

Weil jeder von null verschiedene Rest einen kleineren Grad besitzt, endet der Ablauf nach beschränkt vielen Schritten. Der letzte Divisor wird auf einen führenden Koeffizienten von eins skaliert. Danach bildet eine Koeffizientenfaltung das vollständige Produkt.

Eine zweite Polynomdivision teilt es durch den normierten ggT und entfernt genau eine Kopie jedes gemeinsamen Faktors. Schließlich wird auch der Quotient normiert. Der ausgegebene ggT und das Zwischenprodukt ermöglichen Ihnen die Prüfung der Identität.

Eine feste Toleranz entfernt winzige Gleitkommareste; die gewählte Genauigkeit rundet nur die sichtbare Antwort. Koeffizienten müssen endlich sein, der Höchstgrad beträgt 64 und ihr Betrag ist begrenzt.

Wann sich ein Polynom-kgV-Rechner eignet

Das kgV von Polynomen wird benötigt, wenn mehrere rationale Ausdrücke einen gemeinsamen Nenner erhalten sollen. Das Zerlegen jedes Nenners von Hand ist lehrreich, wird bei wiederholten Faktoren oder bereits ausmultiplizierten Koeffizienten jedoch fehleranfällig. Das kgV übernimmt jeden Faktor in der höchsten erforderlichen Vielfachheit, ohne gemeinsame Faktoren unnötig zu duplizieren.

Die Operation hilft außerdem bei Polynomkongruenzen, Algebraaufgaben, Rekurrenzoperatoren und Tests mathematischer Software. Lehrkräfte können Lösungen erstellen, die neben dem Resultat auch ggT und Produkt zeigen. Lernende können ihre Faktorisierung mit einer koeffizientenbasierten Antwort vergleichen.

Verwenden Sie dafür jeweils die spezialisierte Fähigkeit.

Anwendungsfälle

Gemeinsame Nenner bilden

Bestimmen Sie vor dem Addieren oder Vergleichen rationaler Ausdrücke den kleinsten durch beide Nenner teilbaren Polynomnenner.

Algebraaufgaben prüfen

Kontrollieren Sie ein von Hand berechnetes kgV anhand des ggT und des Produkts, die das Entfernen gemeinsamer Faktoren erklären.

Deterministische Testdaten erzeugen

Erstellen Sie stabile Koeffizientenlisten und lesbare Ausdrücke für Tests von Polynomsoftware und Lernprogrammen.

Häufige Fragen

Wie wird das Polynom-kgV berechnet?

Der Rechner bestimmt per Euklid einen normierten ggT, multipliziert die Eingaben, teilt das Produkt durch diesen ggT und normiert den Quotienten.

Wie geben Sie ein Polynom ein?

Verwenden Sie eine dichte Koeffizientenliste in fallender Gradfolge. Beispielsweise steht [1, -3, 2] für x^2 - 3x + 2.

Was geschieht, wenn ein Polynom null ist?

Das kgV wird als [0] ausgegeben. Sind beide Eingaben null, wird die Anfrage abgelehnt, weil gcd(0, 0) hier nicht definiert ist.

Warum ist die Antwort normiert?

Polynom-kgV sind nur bis auf einen von null verschiedenen konstanten Faktor eindeutig. Ein führender Koeffizient von eins schafft eine einheitliche Darstellung.

Was passiert, wenn ein Polynom das andere bereits teilt?

Dann ist das kgV einfach das größere der beiden, normiert auf Leitkoeffizient 1. Haben die Polynome keinen gemeinsamen Faktor, ist das kgV ihr Produkt, ebenfalls normiert.

Was geschieht, wenn eines der Polynome null ist?

Ist genau eines null, ergibt sich das Nullpolynom, weil jedes Polynom die Null teilt. Zwei Nullpolynome lassen sich nicht verrechnen und werden zurückgewiesen.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": [
      1,
      -3,
      2
    ],
    "b": [
      1,
      -1
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": [
        1,
        -3,
        2
    ],
    "b": [
        1,
        -1
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": [
    1,
    -3,
    2
  ],
  "b": [
    1,
    -1
  ]
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.polynomial_lcm",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Limits

`max_degree`	64
`max_abs_coefficient`	1000000000000000

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Nutzen Sie den Rechner kostenlos im Browser oder die API für $0.002 je erfolgreicher Anfrage.

Wie Produkt geteilt durch ggT berechnet wird

Dadurch bleiben alle Schleifen endlich, und Infinity oder NaN können keine mehrdeutige JSON-Ausgabe erzeugen.

Wann sich ein Polynom-kgV-Rechner eignet

Entwickler erhalten deterministisches JSON für Bibliotheken, symbolische Oberflächen und Lernanwendungen. Browser und API führen dieselbe reine Funktion aus; eine interaktive Kontrolle lässt sich deshalb ohne Bedeutungsänderung automatisieren. Eine erfolgreiche API-Berechnung kostet $0.002. Das Werkzeug zerlegt Polynome nicht in irreduzible Faktoren, bestimmt keine Nullstellen und zeigt die Division nicht zeilenweise.

Technische Fragen

Was kostet die Berechnung?

Im Browser ist sie kostenlos. Eine erfolgreiche API-Anfrage kostet $0.002; ungültige Eingaben werden nicht berechnet.

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