ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة المضاعف المشترك الأصغر لكثيرات الحدود باستخدام القاسم الأكبر

احصل على أصغر كثيرة حدود تقبل القسمة على الاثنتين: x² − 3x + 2 وx² − 1 تشتركان في x − 1، لذا مضاعفهما المشترك الأصغر x³ − 2x² − x + 2 من الدرجة 3. مجانًا في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

النص الأول: 1, ‎-3, 2
النص الثاني: 1, 0, ‎-1

تحصل على

Gcd: 1, ‎-1
الناتج: 1, ‎-3, 1, 3, ‎-2
Lcm: 1, ‎-2, ‎-1, 2
درجة المضاعف المشترك الأصغر: 3

تحسب هذه الأداة المضاعف المشترك الأصغر لكثيرتي حدود ممثلتين بمصفوفتي معاملات كثيفتين مرتبتين تنازليًا حسب الدرجة. تبدأ بإيجاد القاسم المشترك الأكبر الأحادي بخوارزمية إقليدس، ثم تضرب كثيرتي الحدود الأصليتين وتقسم حاصل الضرب على العامل المشترك. وتطبّع النتيجة إلى كثيرة حدود أحادية كي تبقى الإجابة متسقة عند اختلاف العوامل القياسية غير الصفرية. تتضمن الاستجابة المدخلات والقاسم المشترك الأكبر وحاصل الضرب والمضاعف المشترك الأصغر والصيغ المقروءة وعدد خطوات إقليدس. الحساب حتمي ولا يستخدم شبكة أو عشوائية أو وقتًا.

معنى المضاعف المشترك الأصغر لكثيرات الحدود

المضاعف المشترك الأصغر لكثيرتي حدود غير صفريتين هو كثيرة الحدود ذات الدرجة الدنيا القابلة للقسمة عليهما معًا، مع اعتبار الضرب في ثابت غير صفري تمثيلًا مكافئًا. ولأن ذلك الثابت اختياري، تعيد الحاسبة الممثل الأحادي الذي يساوي معامله الرئيس واحدًا. المدخلات مصفوفات كثيفة تبدأ بأعلى قوة وتنتهي بالحد الثابت.

لذلك تمثل [1, -3, 2] العبارة x^2 - 3x + 2، وتمثل [1, -1] العبارة x - 1. إذا كانت كثيرة الحدود الثانية تقسم الأولى أصلًا، فالمضاعف هو الصورة الأحادية للأولى. وإذا كانتا أوليتين فيما بينهما، كان القاسم المشترك الأكبر واحدًا وكان المضاعف الصورة الأحادية لحاصل ضربهما.

إذا كان أحد المدخلين فقط صفرًا فالنتيجة كثيرة الحدود الصفرية. يُرفض الزوج [0] و[0] لأن gcd(0, 0) غير معرّف في هذا العقد. تُحذف المعاملات الصفرية البادئة قبل الحساب.

تعرض الاستجابة المصفوفات والصيغ المقروءة للقاسم وحاصل الضرب والمضاعف، فتصلح للبرامج ولمراجعة الحلول الجبرية المكتوبة.

كيفية حساب حاصل الضرب مقسومًا على القاسم الأكبر

تطبق الخوارزمية العلاقة lcm(a, b) = monic((a * b) / gcd(a, b)). تبدأ بحساب القاسم المشترك الأكبر الإقليدي لمتجهات المعاملات. في كل خطوة تنتج القسمة المطولة لكثيرات الحدود باقيًا، ثم يصبح المقسوم عليه السابق وذلك الباقي الزوج التالي.

ولأن درجة كل باقٍ غير صفري أقل، تنتهي العملية ضمن عدد محدود من الخطوات. يُضبط المقسوم عليه الأخير ليصبح معامله الرئيس واحدًا. بعد ذلك يبني التفاف المعاملات حاصل الضرب الكامل، ثم تقسمه قسمة مطولة ثانية على القاسم الأحادي، فتحذف نسخة واحدة من كل عامل مشترك.

وأخيرًا يُطبّع خارج القسمة. تعيد الأداة القاسم وحاصل الضرب الوسيطين كي تتمكنوا من التحقق من العلاقة. يزيل تسامح ثابت البقايا الضئيلة للحساب العشري، ولا تُستخدم الدقة المطلوبة إلا لتقريب الاستجابة المعروضة.

يجب أن تكون المعاملات أعدادًا منتهية، وأقصى درجة هي 64، كما أن مقدار المعامل محدود.

متى تستخدمون حاسبة المضاعف لكثيرات الحدود

يظهر المضاعف المشترك الأصغر لكثيرات الحدود عندما تحتاج عدة عبارات كسرية إلى مقام مشترك. تحليل كل مقام يدويًا مفيد للتعلم، لكنه يصبح عرضة للخطأ عند تكرار العوامل أو ورود المعاملات بعد النشر. يضم المضاعف كل عامل بأكبر تكرار مطلوب من دون تكرار العوامل المشتركة بلا حاجة.

تفيد العملية كذلك في تطابقات كثيرات الحدود وتمارين الجبر ومؤثرات العلاقات التكرارية واختبارات برمجيات الجبر الحاسوبي. يستطيع المعلمون إعداد حلول تعرض القاسم وحاصل الضرب إلى جانب النتيجة، ويستطيع الطلاب مقارنة تحليل يدوي بنتيجة قائمة على المعاملات. تركز الأداة على هذه المهمة فقط؛ فلا تحلل كثيرات الحدود إلى عوامل غير قابلة للاختزال، ولا تحسب الجذور، ولا تعرض خطوات القسمة سطرًا سطرًا.

استخدموا أداة متخصصة عندما تكون تلك النتائج هي المطلوبة.

حالات الاستخدام

إنشاء مقامات مشتركة

أوجدوا أصغر مقام كثير حدود يقبل القسمة على المقامين قبل جمع العبارات الكسرية أو مقارنتها.

مراجعة تمارين الجبر

تحققوا من مضاعف حُسب يدويًا وافحصوا القاسم وحاصل الضرب اللذين يبرران حذف نسخة من العوامل المشتركة.

إعداد بيانات اختبار حتمية

أنشئوا مصفوفات معاملات مستقرة وصيغًا مقروءة لاختبارات مكتبات كثيرات الحدود والبرامج التعليمية.

الأسئلة الشائعة

كيف يُحسب المضاعف المشترك الأصغر لكثيرات الحدود؟

تجد الحاسبة قاسمًا مشتركًا أكبر أحاديًا بخوارزمية إقليدس، وتضرب المدخلين، وتقسم الناتج على ذلك القاسم، ثم تطبّع خارج القسمة.

كيف تُدخلون كثيرة حدود؟

استخدموا مصفوفة كثيفة من المعاملات مرتبة حسب الدرجة تنازليًا. مثلًا تمثل [1, -3, 2] العبارة x^2 - 3x + 2.

ماذا يحدث إذا كانت إحدى كثيرتي الحدود صفرًا؟

يُعاد المضاعف في صورة [0]. إذا كان المدخلان صفرًا يُرفض الطلب لأن gcd(0, 0) غير معرّف في هذا العقد.

لماذا تكون الإجابة أحادية؟

المضاعفات المشتركة الصغرى لكثيرات الحدود فريدة فقط حتى عامل ثابت غير صفري. جعل المعامل الرئيس واحدًا يوفر تمثيلًا متسقًا.

ماذا لو كانت إحدى كثيرتي الحدود تقسم الأخرى؟

عندها يكون المضاعف المشترك الأصغر هو الكبرى منهما بعد جعل معاملها الرئيسي 1. وإذا لم يكن بينهما أي عامل مشترك فالناتج هو حاصل ضربهما بمعامل رئيسي 1 أيضًا.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": [
      1,
      -3,
      2
    ],
    "b": [
      1,
      -1
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": [
        1,
        -3,
        2
    ],
    "b": [
        1,
        -1
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "a": [
    1,
    -3,
    2
  ],
  "b": [
    1,
    -1
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.polynomial_lcm",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

`max_degree`	64
`max_abs_coefficient`	1000000000000000

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

يمكنكم استعماله مجانًا في المتصفح أو طلب API بسعر $0.002 لكل عملية ناجحة.

كيفية حساب حاصل الضرب مقسومًا على القاسم الأكبر

تضمن هذه القيود انتهاء كل الحلقات وتمنع Infinity أو NaN من إنشاء JSON ملتبس.

متى تستخدمون حاسبة المضاعف لكثيرات الحدود

ويحصل المطورون على JSON حتمي لاختبارات المكتبات والواجهات الرمزية وتطبيقات التعليم. ينفذ المتصفح وAPI الدالة النقية نفسها، لذلك يمكن تحويل فحص تفاعلي إلى طلب آلي من دون تغيير المعنى. تكلف عملية API الناجحة $0.002.

أسئلة تقنية

ما تكلفة الحساب؟

الحساب مجاني في المتصفح. يكلف طلب API الناجح $0.002، ولا تُفرض رسوم على المدخلات غير الصالحة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

معنى المضاعف المشترك الأصغر لكثيرات الحدود

كيفية حساب حاصل الضرب مقسومًا على القاسم الأكبر

متى تستخدمون حاسبة المضاعف لكثيرات الحدود

حالات الاستخدام

إنشاء مقامات مشتركة

مراجعة تمارين الجبر

إعداد بيانات اختبار حتمية

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الحدود

الأخطاء

ملاحظات تقنية

كيفية حساب حاصل الضرب مقسومًا على القاسم الأكبر

متى تستخدمون حاسبة المضاعف لكثيرات الحدود

أسئلة تقنية

شكرًا