ForHosting KIT · Matematica

Calcolatore del MCM di polinomi tramite MCD

Ottenga il polinomio più piccolo divisibile per entrambi: x² − 3x + 2 e x² − 1 hanno in comune x − 1, quindi il loro MCM è x³ − 2x² − x + 2, di grado 3. Gratis nel suo browser.

Gratis
Funziona nel suo browser
Senza registrazione
I suoi dati restano sul dispositivo

Esegui gratis nel browser Vedi l'API

Usalo da WebAPIEmailTelegramApp presto

Esempio risolto

Se inserisce

Primo testo: 1, -3, 2
Secondo testo: 1, 0, -1

Ottiene

Gcd: 1, -1
Prodotto: 1, -3, 1, 3, -2
Lcm: 1, -2, -1, 2
Grado del minimo comune multiplo: 3

Questo calcolatore trova il MCM di due polinomi forniti come array densi di coefficienti in ordine di grado decrescente. Prima calcola il loro MCD monico con l’algoritmo di Euclide, poi moltiplica i polinomi originali e divide il prodotto per il fattore comune. Il risultato viene normalizzato per restare coerente anche con fattori scalari diversi. La risposta comprende input, MCD, prodotto, MCM, forme leggibili e numero di passaggi. Il calcolo è deterministico, senza rete, casualità o dipendenze temporali.

Che cosa significa il MCM di polinomi

Il minimo comune multiplo di due polinomi non nulli è il polinomio di grado minimo divisibile per entrambi, considerato a meno di una costante non nulla. Poiché tale costante è arbitraria, il calcolatore restituisce il rappresentante monico, con coefficiente principale uguale a uno. Gli input sono array densi dalla potenza più alta al termine costante.

Quindi [1, -3, 2] indica x^2 - 3x + 2, mentre [1, -1] indica x - 1. Se il secondo polinomio divide già il primo, il MCM è la forma monica del primo; se sono coprimi, il MCD è uno e il MCM è la forma monica del prodotto. Se un solo input è zero, il risultato è il polinomio zero.

La coppia [0] e [0] viene rifiutata, perché gcd(0, 0) non è definito dal contratto. Gli zeri iniziali vengono rimossi prima del calcolo. La risposta offre array ed espressioni leggibili per MCD, prodotto e MCM, adatti sia al codice sia alla verifica di esercizi scritti.

Come si calcola il prodotto diviso per il MCD

L’algoritmo usa l’identità lcm(a, b) = monic((a * b) / gcd(a, b)). Inizia calcolando il MCD euclideo sui vettori dei coefficienti. A ogni passaggio, la divisione lunga produce un resto; il divisore precedente e quel resto diventano la coppia successiva.

Poiché ogni resto non nullo ha grado inferiore, il processo termina entro un numero limitato di passaggi. L’ultimo divisore viene scalato affinché il coefficiente principale sia uno. La convoluzione dei coefficienti crea quindi il prodotto completo e una seconda divisione lo divide per il MCD monico, eliminando una copia di ogni fattore condiviso.

Infine il quoziente viene normalizzato. MCD e prodotto intermedi sono inclusi affinché Lei possa verificare l’identità. Una tolleranza fissa elimina minuscoli residui in virgola mobile; la precisione richiesta arrotonda soltanto la risposta esposta.

I coefficienti devono essere finiti, il grado massimo è 64 e la grandezza è limitata.

Quando usare il calcolatore del MCM polinomiale

Il MCM di polinomi compare quando più espressioni razionali richiedono un denominatore comune. Fattorizzare ogni denominatore a mano è istruttivo, ma diventa rischioso con fattori ripetuti o coefficienti già sviluppati. Il MCM conserva ogni fattore con la massima molteplicità necessaria, senza duplicare quelli condivisi.

È utile anche nelle congruenze polinomiali, negli esercizi di algebra, negli operatori di ricorrenza e nei test di software matematico. I docenti possono preparare soluzioni che mostrano MCD e prodotto oltre al risultato. Gli studenti possono confrontare una fattorizzazione manuale con il calcolo sui coefficienti.

Lo strumento non fattorizza in irriducibili, non trova radici e non mostra ogni riga della divisione; per tali obiettivi va scelta una capacità dedicata.

Casi d'uso

Costruire denominatori comuni

Trovi il più piccolo denominatore polinomiale divisibile per entrambi prima di sommare o confrontare espressioni razionali.

Verificare esercizi di algebra

Controlli un MCM calcolato a mano ed esamini MCD e prodotto che giustificano la rimozione dei fattori condivisi.

Domande frequenti

Come viene calcolato il MCM polinomiale?

Il calcolatore trova un MCD monico con Euclide, moltiplica gli input, divide il prodotto per quel MCD e normalizza il quoziente.

Come si inserisce un polinomio?

Lei deve usare un array denso di coefficienti in ordine di grado decrescente. Per esempio, [1, -3, 2] rappresenta x^2 - 3x + 2.

Che cosa accade se un polinomio è zero?

Il MCM restituito è [0]. Se entrambi sono zero, la richiesta viene rifiutata perché gcd(0, 0) non è definito in questo contratto.

Perché la risposta è monica?

I MCM polinomiali sono unici solo a meno di una costante non nulla. Porre a uno il coefficiente principale offre una rappresentazione coerente.

Cosa succede se un polinomio divide già l'altro?

In quel caso il MCM è semplicemente il maggiore dei due, riscalato perché inizi con 1. Se non hanno alcun fattore in comune, il risultato è il loro prodotto, anch'esso con coefficiente direttore 1.

Strumenti correlati

Per sviluppatori — accesso via API

Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm

Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.

Chiamala dal tuo stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": [
      1,
      -3,
      2
    ],
    "b": [
      1,
      -1
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": [
        1,
        -3,
        2
    ],
    "b": [
        1,
        -1
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Esempio di richiesta

{
  "a": [
    1,
    -3,
    2
  ],
  "b": [
    1,
    -1
  ]
}

Esempio di risposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.polynomial_lcm",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.

Prezzi

per richiesta$0.002

Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.

Limiti

`max_degree`	64
`max_abs_coefficient`	1000000000000000

Errori

HTTP	Codice	Significato
`401`	`unauthorized`	Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività.
`404`	`unknown_type`	Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta.
`429`	`rate_limited`	Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo.

Note tecniche

Lei può usarlo gratuitamente nel browser oppure chiamare l’API al costo di $0.002 per ogni richiesta riuscita.

Come si calcola il prodotto diviso per il MCD

Questi vincoli rendono finiti tutti i cicli ed evitano JSON ambigui contenenti Infinity o NaN.

Quando usare il calcolatore del MCM polinomiale

Gli sviluppatori ottengono JSON deterministico per testare librerie, interfacce simboliche e applicazioni didattiche. Browser e API eseguono la stessa funzione pura, quindi una verifica interattiva può diventare una richiesta automatizzata senza cambiare semantica. Una richiesta API riuscita costa $0.002.

Casi di integrazione

Creare fixture deterministiche

Generi array stabili ed espressioni leggibili per test di librerie polinomiali e software didattico.

Domande tecniche

Quanto costa?

Il calcolo è gratuito nel browser. Una richiesta API riuscita costa $0.002; gli input non validi non vengono addebitati.

Leggi la documentazione completa del KIT →

Esegui gratis nel browser

Esempio risolto

Che cosa significa il MCM di polinomi

Come si calcola il prodotto diviso per il MCD

Quando usare il calcolatore del MCM polinomiale

Casi d'uso

Costruire denominatori comuni

Verificare esercizi di algebra

Domande frequenti

Strumenti correlati

Per sviluppatori — accesso via API

Endpoint

Chiamala dal tuo stack

Esempio di richiesta

Esempio di risposta

Prezzi

Limiti

Errori

Note tecniche

Come si calcola il prodotto diviso per il MCD

Quando usare il calcolatore del MCM polinomiale

Casi di integrazione

Creare fixture deterministiche

Domande tecniche

grazie