Calculateur de PPCM de polynômes avec le PGCD
Obtenez le plus petit polynôme divisible par les deux : x² − 3x + 2 et x² − 1 ont x − 1 en commun, donc leur PPCM est x³ − 2x² − x + 2, de degré 3. Gratuit dans votre navigateur.
- Gratuit
- Fonctionne dans votre navigateur
- Sans inscription
- Vos données restent sur votre appareil
Lancer gratuitement
Exemple résolu
- Premier texte
- 1, -3, 2
- Second texte
- 1, 0, -1
- Gcd
- 1, -1
- Produit
- 1, -3, 1, 3, -2
- Lcm
- 1, -2, -1, 2
- Degré du PPCM
- 3
Ce calculateur détermine le PPCM de deux polynômes fournis sous forme de tableaux denses de coefficients par degrés décroissants. Il calcule d’abord leur PGCD unitaire avec l’algorithme d’Euclide, multiplie les polynômes initiaux, puis divise ce produit par le facteur commun. Le résultat est rendu unitaire afin de rester cohérent malgré des facteurs scalaires différents. La réponse contient les entrées, le PGCD, le produit, le PPCM, des écritures lisibles et le nombre d’étapes. Le calcul est déterministe, sans réseau, hasard ni horloge.
Ce que représente le PPCM de polynômes
Le plus petit commun multiple de deux polynômes non nuls est le polynôme de plus faible degré divisible par les deux, à multiplication près par une constante non nulle. Cette constante étant arbitraire, le calculateur renvoie le représentant unitaire, dont le coefficient dominant vaut un. Les entrées sont des tableaux denses allant de la puissance la plus élevée au terme constant.
Ainsi, [1, -3, 2] désigne x^2 - 3x + 2 et [1, -1] désigne x - 1. Si le second polynôme divise déjà le premier, le PPCM est la forme unitaire du premier. S’ils sont premiers entre eux, leur PGCD vaut un et le PPCM est la forme unitaire de leur produit.
Si une seule entrée est nulle, le résultat est le polynôme nul. La paire [0] et [0] est refusée, car gcd(0, 0) n’est pas défini par ce contrat. Les zéros initiaux sont supprimés avant tout calcul.
La réponse fournit des tableaux et des expressions lisibles pour le PGCD, le produit et le PPCM, utilisables dans un programme comme pour vérifier un exercice.
Calcul du produit divisé par le PGCD
L’algorithme applique l’identité lcm(a, b) = monic((a * b) / gcd(a, b)). Il commence par calculer le PGCD euclidien des vecteurs de coefficients. À chaque étape, une division polynomiale produit un reste ; l’ancien diviseur et ce reste forment la paire suivante.
Tout reste non nul ayant un degré inférieur, le processus se termine en un nombre borné d’étapes. Le dernier diviseur est mis sous forme unitaire. Une convolution des coefficients construit ensuite le produit complet, puis une seconde division le divise par le PGCD unitaire et retire une copie de chaque facteur partagé.
Le quotient est enfin normalisé. Le PGCD et le produit intermédiaires sont renvoyés pour que vous puissiez contrôler l’identité. Une tolérance fixe élimine les minuscules résidus dus aux nombres flottants ; la précision demandée ne sert qu’à arrondir la réponse publiée.
Les coefficients doivent être finis, le degré est limité à 64 et leur amplitude est bornée.
Dans quels cas utiliser ce calculateur
Le PPCM de polynômes intervient lorsque plusieurs expressions rationnelles doivent recevoir un dénominateur commun. Factoriser chaque dénominateur à la main est formateur, mais devient fragile avec des facteurs répétés ou des coefficients déjà développés. Le PPCM conserve chaque facteur avec la multiplicité maximale nécessaire, sans répéter ceux qui sont communs.
Il sert aussi dans les congruences polynomiales, les exercices d’algèbre, les opérateurs de récurrence et les tests de logiciels de calcul formel. Les enseignants peuvent préparer des corrigés qui montrent le PGCD et le produit en plus du résultat. Les étudiants peuvent confronter une factorisation manuelle au calcul sur les coefficients.
Cet outil ne factorise pas en irréductibles, ne cherche pas les racines et ne détaille pas chaque ligne de division ; choisissez une capacité spécialisée pour ces besoins.
Cas d’usage
Construire des dénominateurs communs
Trouvez le plus petit dénominateur polynomial divisible par les deux avant d’additionner ou de comparer des expressions rationnelles.
Vérifier des exercices d’algèbre
Contrôlez un PPCM calculé à la main et consultez le PGCD et le produit qui justifient le retrait des facteurs communs.
Créer des jeux de test déterministes
Produisez des tableaux stables et des écritures lisibles pour tester des bibliothèques polynomiales et des logiciels pédagogiques.
Questions fréquentes
Comment le PPCM polynomial est-il calculé ?
Le calculateur trouve un PGCD unitaire avec Euclide, multiplie les entrées, divise le produit par ce PGCD et normalise le quotient.
Comment saisir un polynôme ?
Utilisez un tableau dense de coefficients par degrés décroissants. Par exemple, [1, -3, 2] représente x^2 - 3x + 2.
Que se passe-t-il si un polynôme est nul ?
Le PPCM renvoyé est [0]. Si les deux entrées sont nulles, la requête est refusée car gcd(0, 0) n’est pas défini ici.
Pourquoi la réponse est-elle unitaire ?
Les PPCM polynomiaux ne sont uniques qu’à un facteur constant non nul près. Fixer le coefficient dominant à un fournit une représentation stable.
Que se passe-t-il si un polynôme divise déjà l'autre ?
Le PPCM est alors simplement le plus grand des deux, ramené à un coefficient dominant égal à 1. S'ils n'ont aucun facteur commun, le résultat est leur produit, lui aussi ramené à 1.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_lcm",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_degree | 64 |
max_abs_coefficient | 1000000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Utilisez-le gratuitement dans votre navigateur ou appelez l’API pour $0.002 par requête réussie.
Calcul du produit divisé par le PGCD
Tous les parcours restent ainsi finis, et Infinity ou NaN ne peuvent pas produire un JSON ambigu.
Dans quels cas utiliser ce calculateur
Les développeurs obtiennent un JSON déterministe pour tester des bibliothèques, interfaces symboliques ou applications pédagogiques. Le navigateur et l’API exécutent la même fonction pure : une vérification interactive peut donc devenir une requête automatisée sans changer de sens. Une requête API réussie coûte $0.002.
Questions techniques
Quel est le tarif ?
Le calcul est gratuit dans votre navigateur. Une requête API réussie coûte $0.002 ; les entrées invalides ne sont pas facturées.