Calculadora de MCM de polinomios mediante el MCD
Obtenga el menor polinomio que ambos dividen: x² − 3x + 2 y x² − 1 comparten x − 1, así que su mínimo común múltiplo es x³ − 2x² − x + 2, de grado 3. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Primer texto
- 1, -3, 2
- Segundo texto
- 1, 0, -1
- Gcd
- 1, -1
- Producto
- 1, -3, 1, 3, -2
- Lcm
- 1, -2, -1, 2
- Grado del mínimo común múltiplo
- 3
Esta calculadora obtiene el MCM de dos polinomios escritos como arreglos densos de coeficientes en orden descendente. Primero halla su MCD mónico con el algoritmo de Euclides, multiplica los polinomios originales y divide el producto por el factor compartido. Normaliza el resultado para ofrecer una respuesta uniforme aunque cambien los factores escalares. La salida incluye entradas, MCD, producto, MCM, formas legibles y número de pasos. El cálculo es determinista, sin red, azar ni tiempo.
Qué significa el MCM de polinomios
El mínimo común múltiplo de dos polinomios no nulos es el polinomio de menor grado divisible por ambos, salvo un factor constante no nulo. Como ese factor es arbitrario, la calculadora devuelve el representante mónico, cuyo coeficiente principal es uno. Las entradas son arreglos densos desde la potencia mayor hasta el término independiente.
Así, [1, -3, 2] representa x^2 - 3x + 2 y [1, -1] representa x - 1. Si el segundo divide al primero, el MCM es la forma mónica del primero; si son coprimos, el MCD es uno y el MCM es la forma mónica del producto. Si solo una entrada es cero, el resultado es el polinomio cero.
Se rechaza [0] con [0], pues gcd(0, 0) no está definido en este contrato. Los ceros iniciales se eliminan antes de calcular. La respuesta muestra arreglos y expresiones legibles para el MCD, el producto y el MCM, útiles tanto en código como al revisar álgebra escrita.
Cómo se calcula el producto dividido por el MCD
El algoritmo aplica lcm(a, b) = monic((a * b) / gcd(a, b)). Comienza calculando el MCD de los vectores de coeficientes mediante Euclides. En cada paso, una división larga produce un resto; el divisor anterior y ese resto forman el siguiente par.
Como cada resto no nulo tiene menor grado, el proceso termina con un límite conocido. El último divisor se escala para que su coeficiente principal sea uno. Después, una convolución de coeficientes forma el producto completo y otra división larga lo divide por el MCD mónico, eliminando una copia de cada factor compartido.
El cociente se normaliza como mónico. Se devuelven el MCD y el producto intermedios para que usted pueda comprobar la identidad. Una tolerancia fija elimina residuos diminutos de coma flotante y la precisión solicitada solo redondea la salida.
Cuándo conviene usar esta calculadora
El MCM de polinomios aparece cuando varias expresiones racionales necesitan un denominador común. Factorizar cada denominador a mano ayuda a aprender, pero es fácil equivocarse si hay factores repetidos o coeficientes desarrollados. El MCM conserva cada factor con la mayor multiplicidad necesaria sin duplicar los ya compartidos.
También sirve para congruencias polinómicas, ejercicios elementales, operadores de recurrencias y pruebas de software algebraico. El profesorado puede preparar soluciones que muestren el MCD y el producto además del resultado. El alumnado puede contrastar una factorización manual con una respuesta basada en coeficientes.
La herramienta no factoriza en irreducibles, no resuelve raíces ni presenta cada línea de la división; para esos objetivos debe usarse una capacidad específica.
Qué puede hacer con ella
Construir denominadores comunes
Encuentre el menor denominador polinómico divisible por ambos antes de sumar o comparar expresiones racionales.
Comprobar ejercicios de álgebra
Verifique un MCM manual y examine el MCD y el producto que justifican retirar una copia de los factores comunes.
Crear casos de prueba deterministas
Genere arreglos estables y expresiones legibles para pruebas de bibliotecas de polinomios y software educativo.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el MCM polinómico?
La calculadora halla un MCD mónico con Euclides, multiplica las entradas, divide el producto por ese MCD y normaliza el cociente.
¿Cómo se introduce un polinomio?
Use un arreglo denso de coeficientes en orden descendente. Por ejemplo, [1, -3, 2] representa x^2 - 3x + 2.
¿Qué ocurre si un polinomio es cero?
El MCM se devuelve como [0]. Si ambos son cero, se rechaza la solicitud porque gcd(0, 0) no está definido en este contrato.
¿Por qué la respuesta es mónica?
Los MCM polinómicos solo son únicos salvo un factor constante no nulo. Fijar el coeficiente principal en uno da una representación uniforme.
¿Qué ocurre si un polinomio ya divide al otro?
Entonces el mínimo común múltiplo es simplemente el mayor de los dos, escalado para que empiece por 1. Si no comparten ningún factor, el resultado es su producto, también con coeficiente principal 1.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"a": [
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-3,
2
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"b": [
1,
-1
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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-3,
2
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"b": [
1,
-1
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":[1,-3,2],"b":[1,-1]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-lcm", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": [
1,
-3,
2
],
"b": [
1,
-1
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_lcm",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Límites
max_degree | 64 |
max_abs_coefficient | 1000000000000000 |
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Puede usarlo gratis en el navegador o llamar a la API por $0.002 por solicitud correcta.
Cómo se calcula el producto dividido por el MCD
Los coeficientes deben ser números finitos, el grado máximo es 64 y la magnitud está acotada, lo que mantiene finitos todos los bucles y evita resultados JSON ambiguos con Infinity o NaN.
Cuándo conviene usar esta calculadora
Los desarrolladores obtienen JSON determinista para pruebas de bibliotecas, interfaces simbólicas y aplicaciones educativas. El navegador y la API ejecutan la misma función pura, por lo que una comprobación interactiva puede convertirse luego en una solicitud automática. Una operación correcta por API cuesta $0.002.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta?
El cálculo es gratis en el navegador. Una solicitud correcta por API cuesta $0.002; las entradas inválidas no se cobran.