Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Das kleinste gemeinsame Vielfache einer Liste ganzer Zahlen ist die kleinste positive ganze Zahl, die jeder Listenwert ohne Rest teilt. Lernende nutzen das kgV, um Brüche mit ungleichen Nennern zu addieren und zu subtrahieren; Ingenieurinnen und Ingenieure, um wiederkehrende Zyklen, Zahnradzähne und Abtastfenster auszurichten; Programmierende, um Kacheln, Puffer und Perioden wiederkehrender Aufgaben so zu bemessen, dass mehrere Schleifen wieder zusammenfallen. Negative Eingaben werden auf den Absolutbetrag zurückgeführt, weil Teilbarkeit das Vorzeichen ignoriert. Null wird abgelehnt: keine positive ganze Zahl ist durch null teilbar.

Was das kleinste gemeinsame Vielfache ist und warum es eindeutig ist

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der ganzen Zahlen a1, a2 bis ak ist die kleinste positive ganze Zahl m, sodass jedes ai m teilt. Gleichwertig ist m das kleinste positive gemeinsame Vielfache der gesamten Liste. Für zwei Werte folgt die Identität lcm(a, b) gleich dem Absolutbetrag von a mal b geteilt durch gcd(a, b) aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung: nach dem Kürzen der gemeinsamen Primpotenzen, die der ggT zählt, rekonstruiert das Produkt den maximalen Exponenten jeder Primzahl.

Diese Identität gilt für längere Listen durch Assoziativität: lcm(a, b, c) ist das kgV von lcm(a, b) mit c. Eine einelementige Liste ist zulässig; ihr kgV ist der Absolutbetrag dieser ganzen Zahl, das kleinste positive Vielfache ihrer selbst. Zwei teilerfremde ganze Zahlen haben ein kgV gleich dem Produkt ihrer Absolutbeträge, weshalb teilerfremde Perioden nur in diesem Produkt zusammenfallen.

Vorzeichen ändern das kgV nicht: minus zwölf und achtzehn haben dasselbe kgV wie zwölf und achtzehn, weil eine positive ganze Zahl genau dann durch minus zwölf teilbar ist, wenn sie durch zwölf teilbar ist. Null ist anders. Die Aussage, m sei durch null teilbar, würde verlangen, dass null m teilt, was nur für m gleich null gilt, und null ist nicht positiv.

Dieser Rechner lehnt daher jede Liste mit einer Null ab, statt eine konventionelle Null zurückzugeben, die der Definition der positiven ganzen Zahl widerspräche. Das Ergebnis ist eindeutig: es gibt höchstens ein kleinstes positives gemeinsames Vielfache, und für eine endliche Liste von Null verschiedener ganzer Zahlen existiert es stets.

Eingabevertrag, euklidische Faltung und Fehlerverhalten

Nichtganzzahlen wie Dezimalzahlen der Form 12.5, Booleans, Objekte, Nullwerte und nichtnumerische Zeichenketten scheitern ebenfalls und benennen das störende Element, damit Sie den Rumpf korrigieren können. Jede Magnitude muss eine sichere JavaScript-Ganzzahl sein; würde das gefaltete kgV MAX_SAFE_INTEGER überschreiten, schlägt die Aufgabe fehl, statt auf eine nahe Gleitkommazahl zu runden, was still lügen würde. Bei Erfolg spiegelt der Rumpf die geparsten numbers, meldet count und liefert lcm als positive ganze Zahl.

Beispiel: numbers 12, 18 und 24 ergibt lcm 72, weil 72 durch jedes teilbar ist und keine kleinere positive ganze Zahl es ist. Beispiel: numbers 7 ergibt 7. Beispiel: numbers −4, 6 und 8 ergibt 24.

Fehlgeschlagene Prüfung wird nicht berechnet.

Wo ein kgV-Rechner seinen Nutzen hat

Unterrichtsräume und Nachhilfeplattformen rufen einen kgV-Rechner auf, damit Lernende gemeinsame Nenner und Zyklusaufgaben prüfen, ohne von Hand zu faktorisieren. Prüfungsgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das leere Listen und Nichtganzzahlen ablehnt, statt einen Vorgabewert zu erfinden, den ein fehlerhafter Bewerter als Erfolg werten könnte. Betriebs- und Planungswerkzeuge nehmen das kgV mehrerer Periodenlängen — Schichtfolgen, Wartungsfenster, Abfrageintervalle — um den ersten Zeitpunkt zu finden, an dem alle Uhren zusammenfallen.

Digitales Design und Spielwerkzeuge nutzen das kgV, um die Schrittweite eines Sprite-Blatts oder eine Kachelgröße zu wählen, die zu mehreren Bildzahlen passt. Signalverarbeitungsnotizen nehmen das kgV von Stichprobenzahlen oder Hops, wenn Resampling-Schleifen an einer ganzzahligen Grenze schließen müssen. Bevorzugen Sie diese Fähigkeit, wenn die Suchabsicht allein das kgV ist, nicht ein kombinierter ggT-und-kgV-Abzug und nicht ein Primfaktor-Explorer.