ForHosting KIT · 数学

奇数部分・相異なる部分への分割数計算

Q: 順序は区別されますか？

いいえ。 分割は順序を持たないため、同じ加数を並べ替えても別の分割にはなりません。

数を奇数の和として書く方法の数を数えます。10の奇数部分への分割は10通りで、オイラーの定理により、異なる部分に分ける方法の数も同じです。0から5000まで正確に求められます。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

N: 10

結果

数量: 10

この計算機は、非負整数 n を正の奇数の和として表す方法の個数を、順序を区別せず正確に返します。オイラーの分割定理により、この個数は、すべての部分が互いに異なる分割の個数とも一致します。整数を入力すると、浮動小数点による近似ではなく、正確な十進結果を取得できます。計算は決定的で、ネットワークを使用せず、ゼロの空分割を1つの有効な分割として扱います。

この計算機が数えるもの

整数分割とは、正の整数の和で整数を表し、加数の順序を区別しない考え方です。同じ加数を逆順に並べても別の分割にはなりません。この計算機の第一の見方では、各部分を奇数に限定します。

同じ奇数を繰り返し使うことはできます。同時に、正の整数を2回使わない相異なる部分への分割数も求めています。各要素の形は通常異なりますが、この2つの集合の大きさは、任意の非負整数 n について等しくなります。

そのため、奇数の加数を使う問題にも、重複しない加数を求める問題にも同じ結果を利用できます。n がゼロなら、慣例的な空和に対応して答えは1です。通常の整数分割はこの文脈では非負の対象にのみ定義されるため、負数は拒否されます。

奇数部分と相異なる部分が一致する理由

オイラーの定理は、母関数または直接的な変換で理解できます。各奇数部分を任意回使える場合、奇数ごとに幾何級数の因子を持つ積が得られます。一方、相異なる部分では、各正整数を1回選ぶか選ばないかの積になります。

両方の積の係数は一致するため、指定した n の係数も同じ個数になります。構成的には、繰り返された奇数部分から2の累乗を取り出し、等しい複製をまとめることで、合計を変えずに相異なる部分を作れます。この操作は逆にたどれるため、単なる数値的一致ではなく全単射です。

実装では相異なる部分の側を動的計画法で数えます。候補となる部分を1回ずつ処理し、目標の和を降順に更新します。降順にすることで、同じ処理中にその部分を再利用できません。

BigInt の正確な演算ですべての桁を保持し、最後に十進文字列へ変換します。

結果の使い方と読み方

n には、ゼロから公開上限までの非負整数を指定してください。応答は n を再掲し、条件を満たす分割の正確な個数を count に示します。オイラーの恒等式により両方の個数は同一なので、奇数部分モードと相異なる部分モードを選ぶ必要はありません。

組合せ論の演習確認、係数表の検証、母関数を扱う記号計算コードのテスト、別の決定的プログラム用の参照値作成に利用できます。出力が数えるのは順序を区別しない分割であり、組成ではありません。同じ項の順序を変えても新しい結果にはなりません。

奇数部分という解釈では値の繰り返しが許されますが、相異なる部分という解釈では禁止されます。任意精度整数を扱えない後続システムでは、大きな答えを文字列のまま保持してください。分数、未入力、上限超過、負の整数には型付き入力エラーを返します。

活用例

組合せ論の演習を確認

奇数の加数を使う問題や、すべての部分を相異ならせる問題の正確な個数を検証できます。

母関数を検証

計算した係数を、オイラーの分割恒等式に基づく独立した正確な個数と比較できます。

参照表を作成

テスト、教材、整数列研究に利用できる決定的な十進個数を生成します。

よくある質問

正確には何が返されますか？

n と、n を奇数部分へ分割する正確な個数を返します。これは相異なる部分への分割数でもあります。

順序は区別されますか？

いいえ。分割は順序を持たないため、同じ加数を並べ替えても別の分割にはなりません。

10を奇数部分に分割する方法は何通りですか？

10通りです。それぞれ10を奇数の和で表し、同じ数の繰り返しは許され、順序は区別しません。同じ10通りが、繰り返しのない部分で10を表す方法の数にもなります。

なぜ1つの数で2つの問いに答えられるのですか？

オイラーの分割定理によれば、奇数部分への分割と異なる部分への分割は、どの数でも同じ個数です。等しい部分をまとめると一方が他方に変わり、その操作は元に戻せます。

どこまでの数を入力できますか？

0から5000までの整数です。負の数は受け付けません。0の結果は1で、空の和を唯一の分割と数えるためです。大きな結果もすべての桁を表示します。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/partitions-distinct-odd

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/partitions-distinct-odd \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"n":10}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/partitions-distinct-odd", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "n": 10
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/partitions-distinct-odd",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/partitions-distinct-odd", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"n":10}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/partitions-distinct-odd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "n": 10
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.partitions_distinct_odd",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

max_n 5000

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

この計算機が数えるもの

また、大きな正確な整数を JSON の数値範囲で丸めないよう、個数は十進文字列として返します。

結果の使い方と読み方

API による自動処理は1回あたり $0.002 です。

技術的な質問

count が文字列なのはなぜですか。

分割数は JSON 数値の安全な整数範囲を超える場合があるため、十進文字列ですべての桁を保持します。

n がゼロの場合はどうなりますか。

空分割を表すため、個数は1になります。

負の整数を指定できますか。

いいえ。負の n には invalid_input エラーを返します。

API リクエストの料金はいくらですか。

API リクエスト1回あたり $0.002 です。

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奇数部分・相異なる部分への分割数計算

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計算例

この計算機が数えるもの

奇数部分と相異なる部分が一致する理由

結果の使い方と読み方

活用例

組合せ論の演習を確認

母関数を検証

参照表を作成

よくある質問

関連ツール

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エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

制限

エラー

技術的な注記

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