Partitions en parties impaires et distinctes

Ce compteur renvoie le nombre exact de façons d'écrire un entier non négatif n comme somme d'entiers positifs impairs, sans tenir compte de l'ordre. Le théorème des partitions d'Euler affirme que ce nombre compte aussi les partitions dont toutes les parties sont distinctes. Saisissez un entier pour obtenir un résultat décimal exact plutôt qu'une approximation flottante. Le calcul est déterministe, ne sollicite aucun réseau et considère la partition vide de zéro comme une partition valide.

Ce que compte le calculateur

Une partition écrit un entier comme une somme d'entiers positifs sans tenir compte de l'ordre des termes. Inverser les mêmes termes ne crée donc pas une nouvelle partition. Ce calculateur limite la première interprétation aux parties impaires : chaque terme doit être impair, mais une même valeur impaire peut se répéter.

Il répond simultanément à une autre question, celle du nombre de partitions en parties distinctes, où aucun entier positif ne peut apparaître deux fois. Ces deux familles ont la même taille pour tout n non négatif, même si leurs éléments sont généralement différents. Le résultat convient donc à un problème formulé avec des termes impairs comme à un problème exigeant des termes non répétés.

Pour n égal à zéro, le résultat vaut un en raison de la somme vide conventionnelle. Les valeurs négatives sont refusées, car les partitions ordinaires considérées ici ne sont définies que pour des cibles non négatives.

Pourquoi parties impaires et distinctes coïncident

Le théorème d'Euler s'explique par les fonctions génératrices ou par une transformation directe. Autoriser un nombre quelconque de chaque partie impaire produit un produit comportant un facteur géométrique par entier impair. Exiger des parties distinctes produit un autre produit dans lequel chaque entier positif est choisi une seule fois ou omis.

Les coefficients des deux produits sont identiques ; celui associé à n donne donc le même nombre. Une bijection existe également : on sépare les puissances de deux des parties impaires répétées, puis on combine les copies égales pour former des parties distinctes sans modifier la somme. Cette opération est réversible.

L'implémentation compte le côté des parties distinctes par programmation dynamique. Elle visite chaque partie une fois et actualise les sommes cibles dans l'ordre décroissant, ce qui interdit sa réutilisation pendant le même passage. L'arithmétique BigInt conserve chaque chiffre et l'entier final est sérialisé en chaîne décimale.

Utiliser et interpréter le résultat

Fournissez n sous la forme d'un entier non négatif compris entre zéro et la limite publiée. La réponse répète n et donne count, le nombre exact de partitions admissibles. Vous n'avez pas à choisir un mode parties impaires ou parties distinctes, puisque l'identité d'Euler garantit l'égalité des deux nombres.

Cette capacité permet de vérifier des exercices de combinatoire, de valider des tables de coefficients, de tester un code symbolique de fonctions génératrices ou d'alimenter un autre programme déterministe en valeurs de référence. La sortie compte des partitions non ordonnées, pas des compositions : permuter les mêmes termes n'ajoute aucun cas. Les répétitions sont permises dans l'interprétation impaire, mais interdites dans l'interprétation distincte.

Conservez les grandes réponses comme chaînes sauf si votre système gère des entiers de précision arbitraire. Fractions, valeurs absentes, dépassements de limite et entiers négatifs produisent une erreur d'entrée typée.