Particiones en partes impares y distintas

Este contador devuelve el número exacto de maneras de escribir un entero no negativo n como suma de enteros positivos impares, sin considerar el orden. El teorema de particiones de Euler establece que ese mismo número cuenta también las particiones cuyas partes son todas distintas. Introduzca un entero para obtener un resultado decimal exacto, no una aproximación de coma flotante. El cálculo es determinista, no accede a la red y considera la partición vacía de cero como una partición válida.

Qué cuenta la calculadora

Una partición expresa un entero como suma de enteros positivos sin tener en cuenta el orden de los sumandos. Por tanto, invertir los mismos términos no crea otra partición. Esta calculadora limita la primera interpretación a partes impares: cada sumando debe ser impar, aunque un valor impar puede repetirse.

A la vez responde otra pregunta aparente, la cantidad de particiones en partes distintas, donde ningún entero positivo aparece dos veces. Ambas familias tienen el mismo tamaño para todo n no negativo, aunque sus miembros suelen ser diferentes. El resultado sirve tanto si su problema habla de sumandos impares como si exige sumandos sin repetición.

Para n igual a cero, el valor es uno por la suma vacía convencional. Los valores negativos se rechazan porque estas particiones ordinarias solo se definen para objetivos no negativos.

Por qué coinciden las partes impares y las distintas

El teorema de Euler puede entenderse mediante funciones generatrices o con una transformación directa. Permitir cualquier cantidad de cada parte impar genera un producto con un factor geométrico por cada entero impar. Exigir partes distintas genera otro producto en el que cada entero positivo se elige una vez o se omite.

Ambos productos tienen los mismos coeficientes, de modo que el coeficiente correspondiente a n proporciona el mismo conteo. También existe una biyección: se separan repetidamente potencias de dos de las partes impares repetidas y se combinan copias iguales para obtener partes distintas sin cambiar la suma. El proceso es reversible.

La implementación cuenta el lado de partes distintas con programación dinámica. Recorre cada parte una sola vez y actualiza las sumas objetivo en orden descendente, lo que impide reutilizarla durante su propia pasada. La aritmética BigInt conserva todos los dígitos y el entero final se serializa como cadena decimal.

Cómo usar e interpretar el resultado

Proporcione n como entero no negativo desde cero hasta el límite publicado. La respuesta repite n e incluye count, el número exacto de particiones que cumplen la condición. No debe elegir entre un modo de partes impares y otro de partes distintas, pues la identidad de Euler garantiza que ambos conteos son iguales.

Puede usar la capacidad para comprobar ejercicios de combinatoria, validar tablas de coeficientes, probar código simbólico de funciones generatrices o producir valores de referencia para otro programa determinista. El resultado cuenta particiones sin orden, no composiciones: cambiar el orden de los términos no añade un caso. Las repeticiones se permiten en la lectura de partes impares, pero se prohíben en la lectura de partes distintas.

Mantenga las respuestas grandes como cadenas salvo que su sistema admita enteros de precisión arbitraria. Fracciones, entradas ausentes, valores superiores al límite y enteros negativos producen un error de entrada tipado.