Partições em partes ímpares e distintas
Conte as maneiras de escrever um número como soma de partes ímpares: 10 tem 10 partições assim, e pelo teorema de Euler esse também é o número de formas de dividi-lo em partes distintas. Exato de 0 a 5000. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- N
- 10
- Quantidade
- 10
Este contador retorna o número exato de maneiras de escrever um inteiro não negativo n como soma de inteiros positivos ímpares, sem considerar a ordem. O teorema das partições de Euler afirma que o mesmo número também conta partições cujas partes são todas distintas. Informe um inteiro para obter um resultado decimal exato, e não uma aproximação de ponto flutuante. O cálculo é determinístico, funciona sem acesso à rede e considera a partição vazia de zero como uma partição válida.
O que a calculadora conta
Uma partição representa um inteiro como soma de inteiros positivos sem considerar a ordem das parcelas. Assim, inverter as mesmas parcelas não cria outra partição. Esta calculadora restringe a primeira interpretação a partes ímpares: cada parcela deve ser ímpar, embora um valor ímpar possa se repetir.
Ao mesmo tempo, ela responde a uma segunda pergunta, a quantidade de partições em partes distintas, nas quais nenhum inteiro positivo aparece duas vezes. As duas famílias têm o mesmo tamanho para todo n não negativo, ainda que seus elementos normalmente sejam diferentes. O resultado é útil tanto quando o problema menciona parcelas ímpares quanto quando exige parcelas sem repetição.
Para n igual a zero, o valor é um por causa da soma vazia convencional. Valores negativos são recusados porque essas partições comuns são definidas apenas para alvos não negativos.
Por que partes ímpares e distintas coincidem
O teorema de Euler pode ser compreendido por funções geradoras ou por uma transformação direta. Permitir qualquer quantidade de cada parte ímpar produz um produto com um fator geométrico para cada inteiro ímpar. Exigir partes distintas produz outro produto em que cada inteiro positivo é escolhido uma vez ou omitido.
Os dois produtos têm coeficientes idênticos, portanto o coeficiente associado a n fornece a mesma contagem. Há também uma bijeção: potências de dois são separadas repetidamente de partes ímpares repetidas, e cópias iguais são combinadas para criar partes distintas sem alterar a soma. O processo pode ser invertido.
A implementação conta o lado das partes distintas com programação dinâmica. Cada parte é visitada uma vez, e as somas-alvo são atualizadas em ordem decrescente para impedir seu reuso na mesma passagem. A aritmética BigInt preserva todos os dígitos, e o inteiro final é serializado como texto decimal.
Como usar e interpretar o resultado
Forneça n como inteiro não negativo entre zero e o limite publicado. A resposta repete n e apresenta count, o número exato de partições válidas. Você não precisa escolher entre um modo de partes ímpares e outro de partes distintas, pois a identidade de Euler garante que as duas contagens são iguais.
A capacidade pode conferir exercícios de combinatória, validar tabelas de coeficientes, testar código simbólico de funções geradoras ou fornecer valores de referência a outro programa determinístico. A saída conta partições sem ordem, e não composições: trocar a ordem dos termos não acrescenta um caso. Repetições são permitidas na interpretação de partes ímpares, mas proibidas na de partes distintas.
Mantenha respostas grandes como strings, salvo se o sistema de destino aceitar inteiros de precisão arbitrária. Frações, entradas ausentes, valores acima do limite e inteiros negativos produzem um erro de entrada tipado.
Casos de uso
Conferir exercícios de combinatória
Verifique contagens exatas quando um problema usa parcelas ímpares ou exige que todas as partes sejam distintas.
Validar funções geradoras
Compare coeficientes calculados com uma contagem exata independente baseada na identidade de Euler.
Montar tabelas de referência
Gere contagens decimais determinísticas para testes, material didático ou pesquisa de sequências inteiras.
Perguntas frequentes
O que é retornado exatamente?
A resposta retorna n e a contagem exata de suas partições em partes ímpares, que também é a contagem em partes distintas.
A ordem importa?
Não. Partições não têm ordem, portanto reorganizar as mesmas parcelas não cria outra partição.
O que acontece quando n é zero?
A contagem é um e representa a partição vazia.
Quantas partições de 10 em partes ímpares existem?
Existem 10. Cada uma escreve 10 como soma de números ímpares, com repetições permitidas e sem importar a ordem. O mesmo valor, 10, é o número de formas de escrever 10 com partes que nunca se repetem.
Por que uma única contagem responde a duas perguntas?
O teorema das partições de Euler diz que partições em partes ímpares e em partes distintas existem em igual número para todo inteiro. Juntar cópias iguais de uma parte transforma um tipo no outro, e o passo é reversível.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/partitions-distinct-odd \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"n":10}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/partitions-distinct-odd", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"n": 10
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/numth/partitions-distinct-odd",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"n": 10
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/partitions-distinct-odd", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"n":10}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"n":10}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/partitions-distinct-odd", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"n": 10
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "numth.partitions_distinct_odd",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_n | 5000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que a calculadora conta
A contagem é devolvida como texto decimal para impedir que JSON arredonde inteiros exatos grandes.
Como usar e interpretar o resultado
A automação por API custa US$ 0,002 por solicitação.
Perguntas técnicas
Por que count é uma string?
As contagens podem superar o intervalo inteiro seguro dos números JSON; o texto decimal preserva cada dígito.
Inteiros negativos são aceitos?
Não. Um n negativo retorna um erro invalid_input.
Quanto custa uma solicitação de API?
Cada solicitação de API custa US$ 0,002.