数学

楕円上の点での接線の傾きを求めます。半軸が5と3、点が (4, 1.8) なら、陰微分による傾きは−0.8、接線は y − 1.8 = −0.8(x − 4) です。ブラウザで無料で使えます。

x³ − 3xの第二導関数は6xなので、グラフがカップ形（下に凸）になるのは(0, +∞)です。係数を入れるだけで、二つの導関数と、第二導関数が正になるすべての開区間が分かります。ブラウザで無料で使えます。

x³ − 3x + 2の臨界点は−1と1で、そこで導関数3x² − 3が0になります。係数を次数の高い順に入れるだけで、導関数と実数の臨界点の一覧が小さい順に得られます。ブラウザで無料で使えます。

多項式がある点で増加しているか減少しているかを判定します。3x³ − 2x² + 5x − 7 の x が2のときの微分係数は33なので増加です。ゼロの場合は停留点と表示します。ブラウザで無料で使えます。

1つの x の値で多項式がどちらに向かっているかを調べます。2x² − 3x + 1 の導関数は x が1のとき1なので、そこで増加しています。負なら減少、ゼロなら停留です。ブラウザで無料で使えます。

曲線の凹凸が入れ替わる位置を求めます。x⁵ − 5x³ + 4x の変曲点は3つで、0と、その両側に対称な2点です。凹凸が実際には変わらない候補は除外します。ブラウザで無料で使えます。

積を36に固定すると、2つの正の数の和の最小値は12で、6と6のときに得られます。一般に、2数はどちらも積の平方根で、最小の和はその2倍です。ブラウザで無料で使えます。

[1, 3] 上の x^2 - 4x + 3 では両端の値がどちらも 0 で、導関数は 2 で 0 になります。これがロルの点です。12次までの多項式と区間を入力すると、接線が水平になる内部の点をすべて表示します。ブラウザで無料で使えます。

点 (1, 3) と (5, 11) を結ぶ割線の傾きは 2 で、x が 4 進む間に y は 8 増えます。曲線上の任意の2点を入力すると、その間の平均変化率と両方の変化量が分かります。ブラウザで無料で使えます。

曲線 x^3 - 3x は (-1, 2) と (1, -2) で水平になり、そこで導関数 3x^2 - 3 が 0 になります。任意の多項式の係数を入力すると、接線が水平になる実数の点がすべて分かり、そのままグラフや表に使えます。ブラウザで無料で使えます。

うまく選んだ2点だけで、3次以下の多項式は正確に積分できます。x² を0から1まで積分すると結果はちょうど3分の1で、厳密値と一致し誤差はゼロです。節点、関数値、誤差も表示します。ブラウザで無料で使えます。

1·e^(−2x) を0から無限大まで積分すると、ちょうど0.5になります。k が正なら a·e^(−kx) の積分は a/k だからです。原始関数と積分範囲も表示します。ブラウザで無料で使えます。

3x³ − 4x + 7 を一度に積分すると (3/4)x⁴ − 2x² + 7x + C になります。各係数を新しい指数で割り、欠けている次数は0で位置を保ちます。ブラウザで無料で使えます。

1, 0, -3, 0, 2 と入力すると、x^4 - 3x^2 + 2 は偶関数だと分かります。0 でない項がすべて偶数次だからです。指数を直接読むので、f(-x) を手で展開する必要はありません。ブラウザで無料で使えます。

x^3 + 2*x を 0 から 3 まで、幅 0.5 の 6 区間で積分すると 29.25 になります。関数、2つの端の値、3で割り切れる分割数を入力すれば、シンプソンの3/8則で近似します。ブラウザで無料で使えます。

3x² − 2を1から3まで累積すると、ちょうど22になります。原始関数は上端で21、下端で−1です。係数と両端を入れるだけで、符号付きの累積値を途中の計算とともに確認できます。ブラウザで無料で使えます。

0から3までの棒で密度が2x + 1なら、質量は12、一次モーメントは22.5、重心は1.875です。密度の係数と棒の両端を入れるだけで、三つの値を正確に計算できます。ブラウザで無料で使えます。

0から2までのy = xの下の領域は面積が2で、重心のx座標は三分の四と、区間の中点より右になります。曲線の係数と区間を入れるだけで、面積、モーメント、重心を正確に計算できます。ブラウザで無料で使えます。

等比数列を1項ずつ足さずに合計できます。初項2、公比3、5項なら 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242 で、末項の162も表示されます。公比がちょうど1の場合にも対応しています。ブラウザで無料で使えます。

f(x) = x の0から2までの領域では、x軸に関するモーメントは4/3です。多項式を2乗して正確に積分し、半分にします。重心を求める最初の一歩に使えます。ブラウザで無料で使えます。

符号付き面積は打ち消し合ってゼロになることがあります。x² − 3 を0から3まで積分するとちょうど0で、x軸より下の部分と上の部分が釣り合うためです。係数は定数項から昇順に入力します。ブラウザで無料で使えます。

各係数が直前の係数のちょうど半分なら、隣どうしの比はどれも 2 なので、収束半径は 2 です。係数を次数の低い順に入力すると、比が落ち着いているかどうかも分かります。ブラウザで無料で使えます。

x^2 を 0 から 1 まで 4 等分すると、中点リーマン和は 0.328125 で、各区間の幅は 0.25 です。区間、分割数、多項式の係数を入力すれば、定積分の近似値がすぐに求まります。ブラウザで無料で使えます。

6次までの ln(1+x) の展開は x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - x^6/6 です。1000 までの次数を選ぶと、各係数を厳密な分数と小数で次数ごとに確認できます。ブラウザで無料で使えます。

オイラー法の計算を見やすい表で確認できます。y' = x + y、y(0) = 1、刻み幅0.1で4ステップ進めると約1.5282になります。各行に x、y、使った傾きが表示されます。ブラウザで無料で使えます。

1/n² の和は指数2が1より大きいので収束し、指数1の調和級数 1/n は発散します。有限の指数を入力すると、判定結果と使った比較が表示されます。ブラウザで無料で使えます。

1/k^2 の最初の 5 項を足すと 1.463611111111 になります。一般項の式、足す項の数、開始番号を入力すれば、各項を一覧で確かめながら部分和を求められます。ブラウザで無料で使えます。

最初の 10 個の立方数の和は 3025 で、これは三角数 55 の2乗です。13776 までの整数 n を入力すると、厳密な合計、そのもとになる三角数、答えに添える公式が分かります。ブラウザで無料で使えます。

振幅1、減衰率0.2、角振動数2、位相0なら、時刻1での位置は−0.340712212877で、包絡線は0.818730753078です。五つの値を入れるだけで、減衰するコサインを任意の時刻で評価できます。ブラウザで無料で使えます。

減衰定数が単位時間あたり0.05なら、半減期は13.8629436112単位です。dQ/dt = −λQ では t½ = ln(2)/λ となるためで、初期量は必要ありません。ブラウザで無料で使えます。

y(0) = 1 から刻み幅 0.1 で y' = x + y を1ステップ進めると 1.11034166666667 になり、傾きは 1、1.1、1.105、1.2105 です。途中の点もすべて表示されるので、宿題を1行ずつ確かめられます。ブラウザで無料で使えます。

dy/dx = ky で定数が 0.5、y(0) = 2 のとき、3 での厳密な値は 8.96337814 です。定数、既知の初期点、値を知りたい点を入力すると、変数を分離して各手順を表示します。ブラウザで無料で使えます。

1/(k(k+1)) を 1 から 10 まで足すと、ちょうど 10/11 です。上限の番号とずれ p、q を入力すると、項を部分分数に分け、打ち消し合う部分を消して、約分した分数を示します。ブラウザで無料で使えます。

連立した2つの方程式をステップごとに追えます。dy/dx = y + z、dz/dx = x − y を y(0) = 1、z(0) = 0 から刻み幅0.1で4ステップ進めると、y は1.4、z は−0.4になります。ブラウザで無料で使えます。

演習の反復表に必要な1ステップだけを計算します。g(x) = 0.5x + 1 で現在の推定値が0なら、次の推定値は1、変化量も1です。どこで止めるかはご自身で判断できます。ブラウザで無料で使えます。

体積100、流量5、流入濃度2の槽に、初めは真水が入っているとします。10時間単位後の濃度は0.7869386806で、流入濃度2へ近づいていきます。塩の量と平衡濃度も表示します。ブラウザで無料で使えます。

y(0) = 1 から刻み幅 0.1 の4次テイラー法を2ステップ進めると、y' = x + y の 0.2 での値は 1.24280514170139 になります。次数を1から4で選び、各ステップの導関数の項と増分を確認できます。ブラウザで無料で使えます。

0と1を交互にとる四つの点を通る自然三次スプラインは、xが1.5のとき0.5になります。三点以上を順不同で入れ、目標のxを指定するだけで、なめらかな値とそれを生んだ三次式の区間が分かります。ブラウザで無料で使えます。

表を逆向きに読みます。データに点 (2, 4) と (3, 8) があれば、目標値6に対応する x は直線補間で2.5です。表の範囲外の目標値は推測せずに拒否します。ブラウザで無料で使えます。

手元の直線からデータがどれだけ離れているかを確かめます。4つの点を傾き1、切片1の直線と比べると、残差平方和は0.09、RMSEは0.15です。残差は入力順に表示されます。ブラウザで無料で使えます。

直線を当てはめて予測値を読み取ります。(1, 3)、(2, 5)、(3, 7)、(4, 9) の最小二乗直線は傾き2、切片1なので、新しい x が5なら予測値は11です。ブラウザで無料で使えます。

表 (0, 1)、(1, 2)、(2, 5)、(3, 10) から、ニュートンの後退差分公式で x が2.5のときの値を7.25と推定します。10、−2.5、−0.25、0を項ごとに足した結果です。ブラウザで無料で使えます。

ニュートン・ラフソン法の1回分をすべて表示します。x² − 2 を1.5から始めると、関数値0.25、導関数の値3、補正量0.0833333333で、次の推定値は1.4166666667です。ブラウザで無料で使えます。

初期値 1 から始めると、ステファンセン法は導関数なしで 7 回の更新により x^2 - 2 の根 1.4142135623731 を求めます。任意の x の関数と初期値を入力すれば、各反復の経過も確認できます。ブラウザで無料で使えます。

長方形の領域を格子に分け、各セルの中心で関数を評価して二重積分を近似します。x^2 + y^2 を x は0から2、y は0から1、2×2の格子で計算すると3.125です。ブラウザで無料で使えます。

2つの偏導関数から、傾きの急さを1つの数で表します。∂f/∂x が3、∂f/∂y が4なら、勾配の大きさは5、その2乗は25です。両方がゼロなら臨界点として示します。ブラウザで無料で使えます。

臨界点の種類を一度に判定できます。x^2 + 3xy + 2y^2 の点 (0, 0) ではヘッセ行列式が−1なので鞍点です。導関数はすべて数値近似ではなく正確に求めます。ブラウザで無料で使えます。

球面 x² + y² + z² 上の点 (1, 2, 2) では勾配が (2, 4, 4) なので、法線は r(t) = (1, 2, 2) + t·(2, 4, 4)、単位法線は (1, 2, 2) を3で割ったものです。ブラウザで無料で使えます。

点 (2, 3) では、関数 x^2*y + sin(x*y) は x 方向に約 14.8805108600492 の割合で変化します。ご自分の式と点を入力すると、y を固定したまま x を左右にわずかにずらして偏微分を求めます。ブラウザで無料で使えます。

42は平衡三進数で+---0になります。各桁が-1、0、+1をとる三進法です。使われる3のべき乗の内訳とトリット数を示し、符号を入れ替えるだけの反転形-+++0も表示します。ブラウザで無料で使えます。

数の2進表記に含まれる1を数え、パリティを求めます。13は1101で1が3つなので、パリティは奇数、パリティビットは1です。2進の並びと、1と0の個数も確認できます。ブラウザで無料で使えます。

大きな累乗の余りを、桁あふれなしで正確に求めます。2の10乗を1000で割った余りは24、3の5乗を13で割った余りは9です。底、指数、法はそれぞれ最大2048桁まで使えます。ブラウザで無料で使えます。

辺リストを、頂点の順番を明示した隣接行列に変換します。A B、B C、C Aの3行なら、対角線が0の3行3列の対称行列になります。授業やアルゴリズムの確認に便利で、ブラウザで無料で使えます。

辺のリストを貼り付けると、各頂点の次数が分かります。A→B、B→C、C→Aの三角形では、どの頂点も入次数1、出次数1、次数2で、次数の合計6は3本の辺の2倍です。ブラウザで無料で使えます。

252は7で割り切れるでしょうか。答えは「はい」で、商は36、余りは0です。負の数も含めて2つの整数を入力すると、割り切れるかどうかと、その根拠になる商と余りが分かります。ブラウザで無料で使えます。

28の約数はちょうど6個で、1から28まですべてが小さい順に並び、個数も表示されます。1兆までの整数を入力すれば、素数かどうかや、いくつの等しいグループに分けられるかが分かります。ブラウザで無料で使えます。

一辺が4の正十二角形の面積は179.138439平方単位です。一辺の長さだけで、面積3·(2+√3)·s²、周の長さ12·s、または常にちょうど150°になる内角を求められます。ブラウザで無料で使えます。

角度を度またはラジアンで入力し、サイン・コサイン・タンジェントから1つを選ぶと、二倍角の値と公式が分かります。30°でコサインを選ぶと0.5です。タンジェントが定義されない角度は、巨大な数ではなくその旨を知らせます。ブラウザで無料で使えます。

ラジアンの角度を1つ入れるだけで、二倍角の3つの値が一度に分かります。π/6（0.5235987756）なら、sin(2x)は約0.8660254038、cos(2x)は0.5、tan(2x)は約1.7320508076です。ブラウザで無料で使えます。

eの2乗は7.38905609893065です。指数を1つ入力すると、e ≈ 2.718281828459045をその数で累乗した値が分かります。連続複利や放射性崩壊、コンデンサーの放電の計算に使え、結果は常に正です。ブラウザで無料で使えます。