ForHosting KIT · 数学

中点リーマン和計算機

x^2 を 0 から 1 まで 4 等分すると、中点リーマン和は 0.328125 で、各区間の幅は 0.25 です。区間、分割数、多項式の係数を入力すれば、定積分の近似値がすぐに求まります。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

A: 0
B: 1
N: 4
係数: 1, 0, 0

結果

多項式: x^2
xの変化量: 0.25
近似値: 0.328125

中点リーマン和は、区間を等幅の長方形に分割し、各長方形の高さとして底辺の中点での関数値を用いる、定積分の標準的な初期数値近似です。定積分の定義に初めて触れる学習者、近似表を採点する指導者、完全な数値積分ライブラリなしで再現可能な積分チェックを必要とするスクリプトは、いずれも同じ契約を必要とします。a と b を選び、小区間数 n を決め、被積分関数を与え、Δx が明示された M_n を受け取る、という流れです。この中点リーマン和計算機は区間 [a, b] の端点、正の整数 n、最高次係数を先頭に並べた一変数多項式を受け取り、各中点での f の和に Δx を掛けて M_n を構成します。

中点リーマン和が計算するもの

連続関数 f の a から b までの定積分は、それらの端点の間で y が f の x に等しいグラフの下にある符号付き面積です。リーマン和は [a, b] を n 個の連続する切片に分け、各切片上のグラフを f の標本値を高さとする水平帯で置き換えてその面積を近似します。

中点則は各小区間の中央で標本を取るため、滑らかな関数では同じ分割上の純左端点・右端点より、台形誤差の主項を打ち消しやすい傾向があります。等幅のとき共通の刻みは Δx が (b マイナス a) を n で割った値です。

i 番目の小区間は i が 0 から n マイナス 1 までについて a プラス i 倍の Δx から a プラス (i プラス 1) 倍の Δx まで走り、その中点は a プラス (i プラス 1/2) 倍の Δx です。中点和は、その中点での f に Δx を掛けたものの i についての和になります。

f が最高次係数を先頭にした多項式のとき、各標本はホーナー法で評価され、記号エンジンなしの決定的な浮動小数点演算になります。b が a より小さいと Δx は負になり、和は積分の向きを引き継ぎ、解析学の符号付き面積の慣習と一致します。a が b に等しいとき幅は 0 で、有限な多項式値であれば近似は 0 です。

中点リーマン和が役立つ場面

微積分の教室やオンライン宿題システムは、任意の多項式について中点での計算ミスなく表の行を照合できるよう中点リーマン和計算機を使います。試験生成器は n が 0 のとき無言で無意味な値を返すのではなく拒否する決定的オラクルを必要とし、教員が解答例で示す丸めとも一致する必要があります。検証失敗は残高を消費しません。

対話デモでは n を控えめにし、テストで approximation 欄を固定すれば、LMS プラグイン、指導ボット、エッジワーカー向けに、記号計算や CAS 基盤を自前で立てずに再現可能な中点和が得られます。

活用例

教室の中点表

学習者に a、b、n、多項式係数を入力させ、教科書の中点リーマン和表と M_n および Δx を照合させます。

試験・LMS の自動採点

無効な n を拒否し標本点を捏造しない決定的な中点オラクルで近似問題を採点します。

ノートブックでの積分確認

重い数値積分を呼ぶ前に、等幅小区間で多項式の荷重や密度モデルの ∫_a^b を健全性チェックします。

よくある質問

このツールで中点リーマン和をどう計算しますか？

有限な端点 a と b、正の整数 n、多項式 f の最高次係数を先頭にした係数を送ってください。

被積分関数はどのような形ですか？

例 [1,0,0] は f(x)=x²、[2,1] は f(x)=2x+1 を意味します。

n が 0 または整数でない場合はどうなりますか？

中点則には少なくとも 1 つの等幅小区間が必要なので、n は 1 以上 100000 以下の正の整数でなければなりません。

a が b より大きくてもよいですか？

はい。 Δx は負になり、近似は定積分の向きを引き継ぎ、符号付き面積の慣習に一致します。

左端や右端ではなく中点を使うのはなぜですか？

各区間の中央で高さを取ると、なめらかな関数では端点で生じる誤差の多くが打ち消し合うためです。同じ長方形の数でも、中点による近似のほうがたいてい真の値に近くなります。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 0,
    "b": 1,
    "n": 4,
    "coefficients": [
      1,
      0,
      0
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 0,
    "b": 1,
    "n": 4,
    "coefficients": [
        1,
        0,
        0
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "a": 0,
  "b": 1,
  "n": 4,
  "coefficients": [
    1,
    0,
    0
  ]
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.riemann_sum_midpoint",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

無効な n、空の係数、有限でない端点は invalid_input で失敗し、課金されません。

入力契約、応答の形、検証

視覚が必要なら長方形の図はご自身で組み合わせてください。必須の四要素を含む JSON 本体を POST してください。積分区間の有限数 a と b、等幅小区間の個数として 1 以上 100000 以下の正の整数 n、被積分多項式の最高次係数を先頭にした空でない有限数の配列 coefficients（別名 coeffs・poly も可）です。欠落フィールド、空の係数リスト、有限でない値、整数でないまたは正でない n は invalid_input で問題を示して失敗します。例として a が 0、b が 1、n が 4、coefficients が 1 0 0 で f が x の二乗のとき、delta_x は 0.25、approximation は 0.328125 となり、厳密積分 1/3 の隣に置かれます。このエンドポイントは和とメッシュ幅を返し、SVG や formula 欄を超える手順説明は出しません。

中点リーマン和 API が役立つ場面

工学ノートでは、重い適応的数値積分を繋ぐ前に多項式の荷重や密度モデルの積分を素早く確認したいことが多く、四行の中点ループのために数値スタック全体を取り込む代わりに小さな parse API を呼びます。実装が純粋な parse ティア A であるため、成功した呼び出しは毎回公開された基本料金 $0.002 で、モデルトークンも外向きネットワークも使いません。

技術的な質問

中点リーマン和計算機の料金はいくらですか？

ブラウザツールは無料です。API リクエストは成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 です。無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →