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Soma de Riemann ponto médio

Com 4 faixas iguais, a soma pelo ponto médio de x^2 entre 0 e 1 é 0,328125, com faixas de 0,25 de largura. Informe o intervalo, o número de faixas e os coeficientes do polinômio para aproximar a integral. Grátis no seu navegador.

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Exemplo resolvido

Se você digitar

A: 0
B: 1
N: 4
Coeficientes: 1, 0, 0

Você obtém

Polinômio: x^2
Delta x: 0,25
Aproximação: 0,328125

Uma soma de Riemann pelo ponto médio é a primeira estimativa numérica padrão de uma integral definida quando se parte um intervalo em retângulos de largura igual e se avalia a altura de cada retângulo no ponto médio da base. Alunos que encontram a definição da integral definida, tutores que corrigem tabelas de aproximação e scripts que precisam de uma verificação de integral reproduzível sem uma biblioteca completa de quadratura compartilham o mesmo contrato: escolha a e b, escolha quantos subintervalos n, informe o integrando e receba M_n com Δx explicitado. Esta calculadora de soma de Riemann pelo ponto médio aceita os extremos de [a, b], um inteiro positivo n e um polinômio univariado escrito como coeficientes de grau maior primeiro, e forma M_n = Δx vezes a soma de f em cada ponto médio.

O que uma soma de Riemann pelo ponto médio calcula

A integral definida de uma função contínua f de a até b é a área com sinal sob o gráfico de y igual a f de x entre esses extremos. Uma soma de Riemann aproxima essa área fatiando [a, b] em n pedaços contíguos e substituindo o gráfico em cada pedaço por uma faixa horizontal cuja altura é uma amostra de f.

A regra do ponto médio escolhe a amostra no centro de cada subintervalo, o que em funções suaves tende a cancelar o erro de ordem principal do trapézio melhor do que extremos esquerdo ou direito puros na mesma malha. Com largura igual, o passo comum é Δx igual a (b menos a) dividido por n.

O i-ésimo subintervalo vai de a mais i vezes Δx até a mais (i mais um) vezes Δx para i de zero até n menos um, e seu ponto médio é a mais (i mais um meio) vezes Δx. A soma do ponto médio é então a soma sobre i de f nesse ponto médio vezes Δx.

Quando f é um polinômio dado por coeficientes de grau maior primeiro, cada amostra é avaliada com aritmética de Horner, de modo que o resultado é aritmética de ponto flutuante determinística sem motor simbólico. Se b for menor que a, Δx é negativo e a soma herda a orientação da integral, alinhada à convenção de área com sinal dos cursos de cálculo. Quando a é igual a b a largura é zero e a aproximação é zero para quaisquer valores polinomiais finitos.

Onde a soma pelo ponto médio ajuda

Salas de cálculo e sistemas de lição de casa online usam uma calculadora de soma de Riemann pelo ponto médio para que os alunos verifiquem linhas de tabela com polinômios arbitrários sem erros aritméticos nos pontos médios. Geradores de exames precisam de um oráculo determinístico que rejeite n igual a zero em vez de devolver silenciosamente um absurdo, e que coincida com o arredondamento que os professores mostram nas soluções trabalhadas. Validação falha não consome saldo.

Mantenha n moderado em demos interativas, fixe o campo approximation nos testes e você obtém somas de ponto médio reproduzíveis para plugins LMS, bots de tutoria e edge workers sem levantar infraestrutura simbólica ou CAS própria.

Casos de uso

Tabelas de ponto médio em sala

Permita que os alunos digitem a, b, n e coeficientes polinomiais e verifiquem M_n e Δx frente às tabelas de soma de Riemann pelo ponto médio do livro.

Correção automática de exames e LMS

Pontue itens de aproximação com um oráculo determinístico de ponto médio que rejeita n inválido e nunca inventa pontos de amostragem.

Checagens de integral em notebooks

Valide ∫_a^b de um modelo polinomial de carga ou densidade com subintervalos iguais antes de chamar uma quadratura mais pesada.

Perguntas frequentes

Como calcular uma soma de Riemann pelo ponto médio com esta ferramenta?

Envie extremos finitos a e b, um inteiro positivo n e coeficientes de grau maior primeiro do polinômio f.

O que acontece se n for zero ou não for inteiro?

A regra do ponto médio precisa de pelo menos um subintervalo de largura igual, então n deve ser um inteiro positivo até 100000.

a pode ser maior que b?

Sim. Δx fica negativo e a aproximação herda a orientação da integral definida, segundo a convenção de área com sinal.

Por que usar o ponto médio em vez da extremidade esquerda ou direita?

Tomar a altura no centro de cada faixa costuma compensar boa parte do erro que as extremidades deixam em funções suaves, por isso, com o mesmo número de retângulos, a estimativa pelo ponto médio costuma ficar mais próxima.

Como digito a função?

Digite os coeficientes do polinômio da maior potência até o termo constante. Para x^2, use 1, 0, 0; para 2x + 1, use 2, 1. Apenas polinômios de uma variável são aceitos.

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 0,
    "b": 1,
    "n": 4,
    "coefficients": [
      1,
      0,
      0
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 0,
    "b": 1,
    "n": 4,
    "coefficients": [
        1,
        0,
        0
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "a": 0,
  "b": 1,
  "n": 4,
  "coefficients": [
    1,
    0,
    0
  ]
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.riemann_sum_midpoint",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

Notas técnicas

Contrato de entrada, formato da resposta e validação

Envie um corpo JSON com quatro peças obrigatórias: a e b como números finitos do intervalo de integração; n como inteiro positivo entre um e cem mil para o número de subintervalos de largura igual; e coefficients como um array não vazio de números finitos de grau maior primeiro para o polinômio integrando, com os aliases coeffs e poly aceitos. Campos ausentes, listas de coeficientes vazias, valores não finitos e n não inteiro ou não positivo falham com invalid_input indicando o problema. Em caso de sucesso a resposta devolve a, b, n e os coeficientes limpos; uma string polinomial compacta como x^2 ou 2x+1 para exibição; delta_x como a largura comum do subintervalo; approximation como a soma do ponto médio arredondada para goldens estáveis entre runtimes; method com o literal midpoint; e uma string formula reexpressando M_n igual a Δx vezes a soma de f em a mais (i mais um meio) Δx. Exemplo: a igual a zero, b igual a um, n igual a quatro, coefficients um zero zero para f de x igual a x ao quadrado produz delta_x igual a 0.25 e approximation igual a 0.328125, ao lado da integral exata um terço. Combine o resultado numérico com o seu próprio gráfico dos retângulos se precisar de visual; este endpoint devolve a soma e a largura da malha, não SVG nem prosa passo a passo além do campo formula.

Onde uma API de soma de Riemann pelo ponto médio agrega valor

Cadernos de engenharia muitas vezes precisam de uma verificação rápida de integral para um modelo polinomial de carga ou densidade antes de ligar uma rotina de quadratura adaptativa mais pesada; chamar uma API parse pequena evita importar uma pilha numérica completa por um loop de ponto médio de quatro linhas.

Perguntas técnicas

Que forma tem o integrando?

Um polinômio univariado como array coefficients não vazio de grau maior primeiro (aliases coeffs, poly). Exemplo [1,0,0] significa f(x)=x²; [2,1] significa f(x)=2x+1.

Quanto custa a calculadora de soma de Riemann pelo ponto médio?

A ferramenta do navegador é gratuita. Pedidos API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.

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