Somma di Riemann punto medio
Con 4 strisce uguali, la somma al punto medio di x^2 tra 0 e 1 vale 0,328125, con strisce larghe 0,25. Indichi l’intervallo, il numero di strisce e i coefficienti del polinomio per approssimare l’integrale. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 0
- B
- 1
- N
- 4
- Coefficienti
- 1, 0, 0
- Polinomio
- x^2
- Delta x
- 0,25
- Approssimazione
- 0,328125
Una somma di Riemann al punto medio è la prima stima numerica standard di un integrale definito quando si partiziona un intervallo in rettangoli di uguale larghezza e si valuta l'altezza di ciascun rettangolo nel punto medio della base. Studenti che affrontano la definizione di integrale definito, tutor che correggono tabelle di approssimazione e script che necessitano di un controllo d'integrale riproducibile senza una libreria di quadratura completa condividono lo stesso contratto: scelga a e b, scelga quanti sottointervalli n, indichi l'integrando e riceva M_n con Δx esplicitato. Questo calcolatore di somma di Riemann al punto medio accetta gli estremi di [a, b], un intero positivo n e un polinomio univariato scritto come coefficienti di grado massimo per primi, poi forma M_n = Δx per la somma di f in ogni punto medio.
Cosa calcola una somma di Riemann al punto medio
L'integrale definito di una funzione continua f da a a b è l'area con segno sotto il grafico di y uguale a f di x tra quegli estremi. Una somma di Riemann approssima quell'area affettando [a, b] in n pezzi contigui e sostituendo il grafico su ciascun pezzo con una striscia orizzontale la cui altezza è un campione di f.
La regola del punto medio sceglie il campione al centro di ogni sottointervallo, il che per funzioni lisce tende a cancellare l'errore di ordine principale del trapezio meglio degli estremi sinistro o destro puri sulla stessa maglia. Con larghezza uguale, il passo comune è Δx uguale a (b meno a) diviso per n.
L'i-esimo sottointervallo va da a più i volte Δx ad a più (i più uno) volte Δx per i da zero a n meno uno, e il suo punto medio è a più (i più un mezzo) volte Δx. La somma al punto medio è allora la somma su i di f in quel punto medio per Δx. Quando f è un polinomio dato da coefficienti di grado massimo per primi, ogni campione è valutato con aritmetica di Horner, così il risultato è aritmetica floating-point deterministica senza motore simbolico.
Se b è minore di a, Δx è negativo e la somma eredita l'orientamento dell'integrale, coerente con la convenzione di area con segno dei corsi di calcolo. Quando a è uguale a b la larghezza è zero e l'approssimazione è zero per qualsiasi valore polinomiale finito.
Dove la somma al punto medio aiuta
Le aule di calcolo e i sistemi di compiti online usano un calcolatore di somma di Riemann al punto medio affinché gli studenti controllino le righe di tabella per polinomi arbitrari senza errori aritmetici sui punti medi. I generatori di esami necessitano di un oracolo deterministico che rifiuti n uguale a zero invece di restituire silenziosamente un nonsenso, e che coincida con l'arrotondamento che i docenti mostrano nelle soluzioni svolte. La validazione fallita non consuma saldo.
Mantenga n moderato nelle demo interattive, fissi il campo approximation nei test e otterrà somme al punto medio riproducibili per plugin LMS, bot di tutoraggio e edge worker senza erigere infrastruttura simbolica o CAS propria.
Casi d'uso
Tabelle di punto medio in aula
Consenta agli studenti di inserire a, b, n e coefficienti polinomiali e di verificare M_n e Δx rispetto alle tabelle di somma di Riemann al punto medio del libro.
Valutazione automatica di esami e LMS
Punteggi gli item di approssimazione con un oracolo deterministico di punto medio che rifiuta n non valido e non inventa mai punti di campionamento.
Controlli d'integrale nei notebook
Validi ∫_a^b di un modello polinomiale di carico o densità con sottointervalli uguali prima di chiamare una quadratura più pesante.
Domande frequenti
Come si calcola una somma di Riemann al punto medio con questo strumento?
Invii estremi finiti a e b, un intero positivo n e coefficienti di grado massimo per primi del polinomio f.
Cosa succede se n è zero o non è intero?
La regola del punto medio richiede almeno un sottointervallo di uguale larghezza, quindi n deve essere un intero positivo fino a 100000.
a può essere maggiore di b?
Sì. Δx diventa negativo e l'approssimazione eredita l'orientamento dell'integrale definito, secondo la convenzione di area con segno.
Perché usare il punto medio e non l’estremo sinistro o destro?
Prendere l’altezza al centro di ogni striscia compensa spesso buona parte dell’errore lasciato dagli estremi sulle funzioni regolari, quindi a parità di rettangoli la stima al punto medio di solito è più vicina.
Come inserisco la funzione?
Scriva i coefficienti del polinomio dalla potenza più alta al termine noto. Per x^2 inserisca 1, 0, 0; per 2x + 1 inserisca 2, 1. Sono ammessi solo polinomi in una variabile.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
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-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
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req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"a": 0,
"b": 1,
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1,
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0
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}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.riemann_sum_midpoint",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Contratto di ingresso, forma della risposta e validazione
Invii un corpo JSON con quattro elementi obbligatori: a e b come numeri finiti dell'intervallo di integrazione; n come intero positivo tra uno e centomila per il numero di sottointervalli di uguale larghezza; e coefficients come un array non vuoto di numeri finiti di grado massimo per primi per il polinomio integrando, con gli alias coeffs e poly accettati. Campi mancanti, elenchi di coefficienti vuoti, valori non finiti e n non intero o non positivo falliscono con invalid_input indicando il problema. In caso di successo la risposta restituisce a, b, n e i coefficienti ripuliti; una stringa polinomiale compatta come x^2 o 2x+1 per la visualizzazione; delta_x come larghezza comune del sottointervallo; approximation come la somma al punto medio arrotondata per goldens stabili tra runtime; method impostato al letterale midpoint; e una stringa formula che riformula M_n uguale a Δx per la somma di f in a più (i più un mezzo) Δx. Esempio: a uguale a zero, b uguale a uno, n uguale a quattro, coefficients uno zero zero per f di x uguale a x al quadrato produce delta_x uguale a 0.25 e approximation uguale a 0.328125, accanto all'integrale esatto un terzo. Abbini il risultato numerico al proprio grafico dei rettangoli se serve un visuale; questo endpoint restituisce la somma e la larghezza della maglia, non SVG né prosa passo-passo oltre il campo formula.
Dove un'API di somma di Riemann al punto medio crea valore
I notebook di ingegneria spesso necessitano di un controllo rapido d'integrale per un modello polinomiale di carico o densità prima di collegare una routine di quadratura adattiva più pesante; chiamare una piccola API parse evita di importare un intero stack numerico per un loop di punto medio di quattro righe. Poiché l'implementazione è parse di tier A pura, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello e senza rete in uscita.
Domande tecniche
Che forma ha l'integrando?
Un polinomio univariato come array coefficients non vuoto di grado massimo per primi (alias coeffs, poly). Esempio [1,0,0] significa f(x)=x²; [2,1] significa f(x)=2x+1.
Quanto costa il calcolatore di somma di Riemann al punto medio?
Lo strumento nel browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo prepagato KIT a $0.002 per chiamata riuscita; l'input non valido non viene addebitato.