Suma de Riemann punto medio
Con 4 franjas iguales, la suma por punto medio de x^2 entre 0 y 1 es 0,328125, con franjas de 0,25 de ancho. Indique el intervalo, el número de franjas y los coeficientes del polinomio para aproximar la integral. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- A
- 0
- B
- 1
- N
- 4
- Coeficientes
- 1, 0, 0
- Polinomio
- x^2
- Delta x
- 0,25
- Aproximación
- 0,328125
Una suma de Riemann por punto medio es la primera estimación numérica habitual de una integral definida cuando se parte un intervalo en rectángulos de igual anchura y se toma la altura de cada uno en el punto medio de su base. Estudiantes que se enfrentan a la definición de la integral definida, tutores que corrigen tablas de aproximación y scripts que necesitan una comprobación de integral reproducible sin una biblioteca de cuadratura completa comparten el mismo contrato: elija a y b, elija cuántos subintervalos n, indique el integrando y reciba M_n con Δx explicitado. Esta calculadora de suma de Riemann por punto medio acepta los extremos de [a, b], un entero positivo n y un polinomio univariado escrito como coeficientes de grado mayor primero, y forma M_n = Δx por la suma de f en cada punto medio.
Qué calcula una suma de Riemann por punto medio
La integral definida de una función continua f desde a hasta b es el área con signo bajo la gráfica de y igual a f de x entre esos extremos. Una suma de Riemann aproxima esa área partiendo [a, b] en n trozos contiguos y sustituyendo la gráfica en cada trozo por una franja horizontal cuya altura es una muestra de f.
La regla del punto medio elige la muestra en el centro de cada subintervalo, lo que en funciones suaves tiende a cancelar el error de orden principal del trapecio mejor que los extremos izquierdo o derecho puros sobre la misma malla. Con anchura igual, el paso común es Δx igual a (b menos a) dividido por n.
El i-ésimo subintervalo va de a más i veces Δx hasta a más (i más uno) veces Δx para i desde cero hasta n menos uno, y su punto medio es a más (i más un medio) veces Δx. La suma del punto medio es entonces la suma sobre i de f en ese punto medio por Δx.
Cuando f es un polinomio dado por coeficientes de grado mayor primero, cada muestra se evalúa con aritmética de Horner, de modo que el resultado es aritmética de punto flotante determinista sin motor simbólico. Si b es menor que a, Δx es negativo y la suma hereda la orientación de la integral, coherente con el convenio de área con signo de los cursos de cálculo. Cuando a igual a b la anchura es cero y la aproximación es cero para cualesquiera valores polinómicos finitos.
Dónde resulta útil la suma por punto medio
Las aulas de cálculo y los sistemas de deberes en línea usan una calculadora de suma de Riemann por punto medio para que el alumnado compruebe filas de tabla con polinomios arbitrarios sin errores aritméticos en los puntos medios. Los generadores de exámenes necesitan un oráculo determinista que rechace n igual a cero en lugar de devolver silenciosamente un absurdo, y que coincida con el redondeo que el profesorado muestra en soluciones resueltas. La validación fallida no consume saldo.
Mantenga n moderado en demos interactivas, fije el campo approximation en las pruebas y obtendrá sumas de punto medio reproducibles para plugins LMS, bots de tutoría y edge workers sin levantar infraestructura simbólica o CAS propia.
Qué puede hacer con ella
Tablas de punto medio en el aula
Permita que el alumnado introduzca a, b, n y coeficientes polinómicos y verifique M_n y Δx frente a las tablas de suma de Riemann por punto medio del libro.
Autocorrección de exámenes y LMS
Puntúe ítems de aproximación con un oráculo determinista de punto medio que rechaza n inválido y nunca inventa puntos de muestreo.
Comprobaciones de integral en cuadernos
Valide ∫_a^b de un modelo polinómico de carga o densidad con subintervalos iguales antes de invocar una cuadratura más pesada.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula una suma de Riemann por punto medio con esta herramienta?
Envíe extremos finitos a y b, un entero positivo n y coeficientes de grado mayor primero del polinomio f.
¿Qué ocurre si n es cero o no es entero?
La regla del punto medio necesita al menos un subintervalo de igual anchura, así que n debe ser un entero positivo hasta 100000.
¿Puede a ser mayor que b?
Sí. Δx se vuelve negativo y la aproximación hereda la orientación de la integral definida, según el convenio de área con signo.
¿Por qué usar el punto medio y no el extremo izquierdo o derecho?
Tomar la altura en el centro de cada franja suele compensar buena parte del error que dejan los extremos en funciones suaves, así que con el mismo número de rectángulos la estimación por punto medio suele quedar más cerca.
¿Cómo escribo la función?
Escriba los coeficientes del polinomio desde la potencia más alta hasta el término independiente. Para x^2 son 1, 0, 0; para 2x + 1 son 2, 1. Solo se admiten polinomios de una variable.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 0,
"b": 1,
"n": 4,
"coefficients": [
1,
0,
0
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 0,
"b": 1,
"n": 4,
"coefficients": [
1,
0,
0
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"a": 0,
"b": 1,
"n": 4,
"coefficients": [
1,
0,
0
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.riemann_sum_midpoint",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Un n inválido, coeficientes vacíos o extremos no finitos fallan con invalid_input y no se facturan.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y validación
Envíe un cuerpo JSON con cuatro piezas obligatorias: a y b como números finitos del intervalo de integración; n como entero positivo entre uno y cien mil para el número de subintervalos de igual anchura; y coefficients como un array no vacío de números finitos de grado mayor primero para el polinomio integrando, con los alias coeffs y poly aceptados. Campos ausentes, listas de coeficientes vacías, valores no finitos y n no entero o no positivo fallan con invalid_input indicando el problema. En caso de éxito la respuesta devuelve a, b, n y los coeficientes limpios; una cadena polinómica compacta como x^2 o 2x+1 para mostrar; delta_x como la anchura común del subintervalo; approximation como la suma del punto medio redondeada para goldens estables entre runtimes; method con el literal midpoint; y una cadena formula que reexpresa M_n igual a Δx por la suma de f en a más (i más un medio) Δx. Ejemplo: a igual a cero, b igual a uno, n igual a cuatro, coefficients uno cero cero para f de x igual a x al cuadrado da delta_x igual a 0.25 y approximation igual a 0.328125, junto a la integral exacta un tercio. Combine el resultado numérico con su propio gráfico de los rectángulos si necesita una visual; este endpoint devuelve la suma y la anchura de malla, no SVG ni prosa paso a paso más allá del campo formula.
Dónde aporta valor una API de suma de Riemann por punto medio
Los cuadernos de ingeniería a menudo necesitan una comprobación rápida de integral para un modelo polinómico de carga o densidad antes de cablear una cuadratura adaptativa más pesada; llamar a una API parse pequeña evita importar una pila numérica completa por un bucle de punto medio de cuatro líneas. Como la implementación es parse de nivel A pura, cada llamada con éxito cuesta el precio base publicado $0.002 sin tokens de modelo ni red saliente.
Preguntas técnicas
¿Qué forma tiene el integrando?
Un polinomio univariado como array coefficients no vacío de grado mayor primero (alias coeffs, poly). Ejemplo [1,0,0] significa f(x)=x²; [2,1] significa f(x)=2x+1.
¿Cuánto cuesta la calculadora de suma de Riemann por punto medio?
La herramienta del navegador es gratuita. Las peticiones API usan saldo prepago KIT a $0.002 por llamada con éxito; la entrada inválida no se factura.