Somme de Riemann point milieu
Avec 4 bandes égales, la somme au point milieu de x^2 entre 0 et 1 vaut 0,328125, chaque bande mesurant 0,25. Indiquez l’intervalle, le nombre de bandes et les coefficients du polynôme pour approcher l’intégrale. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 0
- B
- 1
- N
- 4
- Coefficients
- 1, 0, 0
- Polynôme
- x^2
- Delta x
- 0,25
- Approximation
- 0,328125
Une somme de Riemann au point milieu est la première estimation numérique standard d'une intégrale définie lorsque vous découpez un intervalle en rectangles de largeur égale et évaluez la hauteur de chaque rectangle au milieu de sa base. Les étudiants confrontés à la définition de l'intégrale définie, les tuteurs qui notent des tableaux d'approximation et les scripts qui ont besoin d'une vérification d'intégrale reproductible sans bibliothèque de quadrature complète partagent le même contrat : choisissez a et b, choisissez le nombre de sous-intervalles n, indiquez l'intégrande et recevez M_n avec Δx explicité. Cette calculatrice de somme de Riemann au point milieu accepte les extrémités de [a, b], un entier positif n et un polynôme univarié écrit en coefficients du degré le plus élevé en premier, puis forme M_n = Δx fois la somme de f en chaque milieu.
Ce qu'une somme de Riemann au point milieu calcule
L'intégrale définie d'une fonction continue f de a à b est l'aire signée sous le graphe de y égal à f de x entre ces extrémités. Une somme de Riemann approxime cette aire en découpant [a, b] en n morceaux contigus et en remplaçant le graphe sur chaque morceau par une bande horizontale dont la hauteur est un échantillon de f.
La règle du point milieu choisit l'échantillon au centre de chaque sous-intervalle, ce qui pour des fonctions régulières tend à annuler l'erreur d'ordre principal du trapèze mieux que les extrémités gauche ou droite pures sur le même maillage. Avec largeur égale, le pas commun est Δx égal à (b moins a) divisé par n.
Le i-ième sous-intervalle va de a plus i fois Δx à a plus (i plus un) fois Δx pour i de zéro à n moins un, et son milieu est a plus (i plus un demi) fois Δx. La somme au point milieu est alors la somme sur i de f en ce milieu multipliée par Δx.
Lorsque f est un polynôme donné par des coefficients du degré le plus élevé en premier, chaque échantillon est évalué par l'arithmétique de Horner, de sorte que le résultat est une arithmétique flottante déterministe sans moteur symbolique. Si b est inférieur à a, Δx est négatif et la somme hérite de l'orientation de l'intégrale, conformément à la convention d'aire signée des cours de calcul. Lorsque a égale b la largeur est nulle et l'approximation est nulle pour toutes valeurs polynomiales finies.
Où la somme au point milieu sert
Les salles de calcul et les systèmes de devoirs en ligne utilisent une calculatrice de somme de Riemann au point milieu pour que les apprenants vérifient les lignes de tableau pour des polynômes arbitraires sans erreurs arithmétiques sur les milieux. Les générateurs d'examens ont besoin d'un oracle déterministe qui rejette n égal à zéro au lieu de renvoyer silencieusement un non-sens, et qui correspond à l'arrondi que les enseignants montrent dans les solutions détaillées. Une validation échouée ne consomme pas le solde.
Gardez n modeste pour les démos interactives, figez le champ approximation dans les tests, et vous obtenez des sommes au point milieu reproductibles pour plugins LMS, bots de tutorat et edge workers sans déployer d'infrastructure symbolique ou CAS propre.
Cas d’usage
Tableaux de point milieu en classe
Laissez les élèves saisir a, b, n et les coefficients polynomiaux et vérifier M_n et Δx par rapport aux tableaux de somme de Riemann au point milieu du manuel.
Notation automatique d'examens et LMS
Notez les items d'approximation avec un oracle déterministe de point milieu qui rejette un n invalide et n'invente jamais de points d'échantillonnage.
Vérifications d'intégrale dans les notebooks
Validez ∫_a^b d'un modèle polynomial de charge ou de densité avec sous-intervalles égaux avant d'appeler une quadrature plus lourde.
Questions fréquentes
Comment calculer une somme de Riemann au point milieu avec cet outil ?
Envoyez des extrémités finies a et b, un entier positif n et les coefficients du degré le plus élevé en premier pour le polynôme f.
Quelle forme a l'intégrande ?
Exemple [1,0,0] signifie f(x)=x² ; [2,1] signifie f(x)=2x+1.
Que se passe-t-il si n est zéro ou n'est pas un entier ?
La règle du point milieu nécessite au moins un sous-intervalle de largeur égale, donc n doit être un entier positif jusqu'à 100000.
a peut-il être supérieur à b ?
Oui. Δx devient négatif et l'approximation hérite de l'orientation de l'intégrale définie, selon la convention d'aire signée.
Pourquoi prendre le point milieu plutôt que l’extrémité gauche ou droite ?
Mesurer la hauteur au centre de chaque bande compense souvent une bonne partie de l’erreur laissée par les extrémités sur une fonction régulière : à nombre de rectangles égal, l’estimation au point milieu est généralement plus proche.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 0,
"b": 1,
"n": 4,
"coefficients": [
1,
0,
0
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 0,
"b": 1,
"n": 4,
"coefficients": [
1,
0,
0
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":0,"b":1,"n":4,"coefficients":[1,0,0]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/riemann-sum-midpoint", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 0,
"b": 1,
"n": 4,
"coefficients": [
1,
0,
0
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.riemann_sum_midpoint",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Un n invalide, des coefficients vides ou des extrémités non finies échouent avec invalid_input et ne sont pas facturés.
Contrat d'entrée, forme de la réponse et validation
Envoyez un corps JSON avec quatre éléments obligatoires : a et b comme nombres finis de l'intervalle d'intégration ; n comme entier positif entre un et cent mille pour le nombre de sous-intervalles de largeur égale ; et coefficients comme un tableau non vide de nombres finis du degré le plus élevé en premier pour le polynôme intégrande, avec les alias coeffs et poly acceptés. Champs manquants, listes de coefficients vides, valeurs non finies et n non entier ou non positif échouent avec invalid_input en nommant le problème. En cas de succès la réponse renvoie a, b, n et les coefficients nettoyés ; une chaîne polynomiale compacte telle que x^2 ou 2x+1 pour l'affichage ; delta_x comme largeur commune du sous-intervalle ; approximation comme la somme au point milieu arrondie pour des goldens stables entre runtimes ; method fixé au littéral midpoint ; et une chaîne formula reformulant M_n égal à Δx fois la somme de f en a plus (i plus un demi) Δx. Exemple : a égal à zéro, b égal à un, n égal à quatre, coefficients un zéro zéro pour f de x égal à x au carré donne delta_x égal à 0.25 et approximation égal à 0.328125, à côté de l'intégrale exacte un tiers. Associez le résultat numérique à votre propre tracé des rectangles si vous avez besoin d'un visuel ; ce endpoint renvoie la somme et la largeur de maillage, pas de SVG ni de prose pas à pas au-delà du champ formula.
Où une API de somme de Riemann au point milieu apporte de la valeur
Les carnets d'ingénierie ont souvent besoin d'une vérification rapide d'intégrale pour un modèle polynomial de charge ou de densité avant de brancher une routine de quadrature adaptative plus lourde ; appeler une petite API parse évite d'importer une pile numérique complète pour une boucle de point milieu de quatre lignes. Comme l'implémentation est pure parse de niveau A, chaque appel réussi coûte le prix de base publié $0.002 sans jetons de modèle ni réseau sortant.
Questions techniques
Combien coûte la calculatrice de somme de Riemann au point milieu ?
L'outil navigateur est gratuit. Les requêtes API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par appel réussi ; une entrée invalide n'est pas facturée.