多項式の臨界点計算ツール
x³ − 3x + 2の臨界点は−1と1で、そこで導関数3x² − 3が0になります。係数を次数の高い順に入れるだけで、導関数と実数の臨界点の一覧が小さい順に得られます。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 係数
- 1, 0, -3, 2
- 多項式の次数
- 3
- 導関数の係数
- 3, 0, -3
- 臨界点
- -1, 1
- 数量
- 2
多項式の臨界点計算ツールは、多項式を微分し、その導関数が 0 になる実数 x をすべて求めます。最高次の項から定数項まで順に係数を入力し、存在しない次数には 0 を入れてください。結果には、導関数の係数、多項式の次数、昇順に並べた臨界点が含まれます。微積分の答案確認、増減が変わる可能性のある点の探索、記号式に依存しない自動解析用の構造化データ作成にご利用いただけます。
多項式を順序付きの係数リストで入力します
係数は次数の高い順に並べ、最高次の係数から始めて定数項で終えてください。たとえば、x の 3 乗から 3x を引いて 2 を加えた多項式は、[1, 0, -3, 2] と入力します。2 次の項が存在しない位置を示すため、途中の 0 は省略できません。
意味のある先頭係数は 0 以外である必要がありますが、値に影響しない先頭の 0 は自動的に取り除かれます。少なくとも 2 個の値が必要です。定数多項式の導関数はあらゆる場所で 0 になるため、孤立した臨界点を有限個のリストとして表せないからです。
係数は最大 12 個まで指定でき、元の多項式は 11 次まで扱えます。各係数は有限の数で、絶対値が 1 兆以下でなければなりません。整数、小数、負数、および欠けた次数を表す明示的な 0 に対応しています。
導関数の根が臨界点になる仕組みを確認します
多項式 f の内部の臨界点は、f'(x) が 0 になるか定義されない場所にあります。多項式の導関数はすべての実数 x で定義されるため、この計算では f'(x)=0 だけを解けば十分です。まず各項にべき乗則を適用し、得られた導関数の係数リストを返します。
次に、その導関数の実数根をすべて探します。数値解法では、さらに高階の導関数の根を再帰的に利用し、実数直線を元の式が単調になる区間へ分割します。標準的な根の上界で有限の両端を定め、符号が変わる区間を二分法で絞り込みます。
また、導関数の根における値も調べるため、軸を横切らず接するだけの重根も失いません。1 次多項式の導関数は 0 でない定数なので、空のリストが返されます。
結果の意味と計算範囲を正しく理解します
臨界点は極大点、極小点、または水平な変曲点の候補ですが、f'(x)=0 を解くだけでは種類を判定できません。左右で導関数の符号を調べるか、適切な微分判定法を使うか、さらに高階の導関数を評価してください。このツールはご指定の x の値だけを返し、計算を確認できるよう導関数の係数も添えます。
複素数の根は解かず、閉区間を設定せず、区間の端点も追加しません。また、各点で f(x) を評価したり、グラフを描画したりする機能もありません。それらは別の入力を必要とする独立した手順です。
根は数値的に探索するため、無理数の答えは根号や記号式ではなく小数の近似値で表示されます。規定した次数と係数の範囲内では、処理は決定論的です。ネットワーク、乱数、保存済み状態、現在時刻を利用しないので、同じ入力からは常に同じ出力が得られます。
演習の確認だけでなく、増減が変わる候補点を機械可読形式で必要とする処理にも適しています。
活用例
微積分の解答を確認する
ご自身で求めた導関数と臨界点の x 値を、決定論的な構造化結果と比較できます。
増減が変わる候補点を探す
極大、極小、または水平な変曲点になり得る導関数の実数根を求めます。
よくある質問
係数はどの順番で入力すればよいですか?
最高次から定数項まで並べ、途中に存在しない次数があれば、その位置に 0 を入れてください。
複素数の臨界点も返されますか?
いいえ。 実変数の多項式について、実数の x 値だけを返します。
1 次多項式で空のリストになるのはなぜですか?
導関数が 0 ではない定数になり、その導関数を 0 にする x が存在しないためです。
返された点はすべて極大点か極小点ですか?
いいえ。 水平な変曲点の場合もあります。符号の変化または高階導関数で分類してください。
臨界点のy座標も分かりますか?
いいえ、返すのは小さい順に並べたx座標と、それを求めた導関数だけです。各点の高さは、元の多項式にそのx座標を代入して求めます。x³ − 3x + 2なら−1と1を代入します。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,2]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,2]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.critical_points_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
多項式を順序付きの係数リストで入力します
この形式なら、変数名、指数記号、乗算記号、空白の解釈に曖昧さがなく、ブラウザーでも API の処理でも同じ入力を確実に使用できます。
導関数の根が臨界点になる仕組みを確認します
critical_points 配列には x 座標だけが入り、対応する y の値は含まれません。値は小さい順に並び、数値的に近い重複は統合され、安定した JSON にするため有効数字 12 桁に丸められます。
結果の意味と計算範囲を正しく理解します
API の 1 回のリクエスト料金は $0.002 です。
連携の活用例
多項式解析を自動化する
係数配列を API へ送り、並べ替え済みの臨界点をより大きな数学処理で再利用できます。
技術的な質問
API リクエストの料金はいくらですか?
API の各リクエストは $0.002 です。対話的な計算にはブラウザーで直接実行する機能もご利用いただけます。