Rechner für kritische Punkte eines Polynoms
Die kritischen Punkte von x³ − 3x + 2 liegen bei −1 und 1, wo die Ableitung 3x² − 3 null wird. Geben Sie die Koeffizienten ab der höchsten Potenz ein und erhalten Sie die Ableitung und alle reellen kritischen Punkte sortiert. Kostenlos in Ihrem Browser.
- Kostenlos
- Läuft in Ihrem Browser
- Ohne Anmeldung
- Ihre Daten bleiben auf Ihrem Gerät
Im Browser ausführen – kostenlos
Rechenbeispiel
- Koeffizienten
- 1, 0, -3, 2
- Grad des Polynoms
- 3
- Koeffizienten der Ableitung
- 3, 0, -3
- Kritische Punkte
- -1, 1
- Anzahl
- 2
Der Rechner für kritische Punkte eines Polynoms bildet die Ableitung und ermittelt jeden reellen x-Wert, für den diese Ableitung null ist. Geben Sie die Koeffizienten von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied ein und setzen Sie für jede fehlende Potenz eine Null ein. Das Ergebnis umfasst die Koeffizienten der Ableitung, den Polynomgrad und eine sortierte Liste der kritischen Punkte. Damit können Sie Aufgaben aus der Analysis prüfen, mögliche Wendepunkte im Kurvenverlauf finden und strukturierte Ergebnisse für automatisierte Analysen ohne symbolische Schreibweise erzeugen.
Geben Sie das Polynom als geordnete Koeffizientenliste ein
Notieren Sie die Koeffizienten nach absteigenden Potenzen, beginnend mit dem Koeffizienten der höchsten Potenz und endend mit dem konstanten Glied. Beispielsweise geben Sie x hoch drei minus 3x plus 2 als [1, 0, -3, 2] ein. Die Null ist notwendig, weil sie den Platz des fehlenden quadratischen Glieds belegt.
Diese Darstellung verhindert Unklarheiten bei Variablen, Exponentenzeichen, Multiplikationssymbolen und Leerzeichen. Der erste bedeutsame Koeffizient muss ungleich null sein; wirkungslose führende Nullen werden jedoch automatisch entfernt. Mindestens zwei Werte sind erforderlich, weil ein konstantes Polynom keine endliche Liste isolierter kritischer Punkte besitzt: Seine Ableitung ist überall null.
Der Rechner akzeptiert bis zu zwölf Koeffizienten, sodass das ursprüngliche Polynom höchstens den Grad elf haben kann. Jeder Koeffizient muss eine endliche Zahl mit einem Betrag von maximal einer Billion sein. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen, negative Werte und ausdrücklich gesetzte Nullen für fehlende Potenzen werden unterstützt.
Verstehen Sie den Zusammenhang zwischen Ableitungsnullstellen und kritischen Punkten
Bei einem Polynom f liegt ein innerer kritischer Punkt dort, wo f'(x) null oder nicht definiert ist. Polynomableitungen sind für jedes reelle x definiert, daher muss dieser Rechner lediglich f'(x)=0 lösen. Zuerst wendet er die Potenzregel Glied für Glied an und gibt die Koeffizienten der entstandenen Ableitung zurück.
Anschließend bestimmt er sämtliche reellen Nullstellen dieser Ableitung. Das numerische Verfahren verwendet rekursiv die Nullstellen weiterer Ableitungen, um die reelle Achse in Intervalle zu zerlegen, in denen das Polynom monoton ist. Eine übliche Nullstellenschranke liefert endliche Randwerte, Vorzeichenwechsel werden durch Bisektion verfeinert und Prüfungen an Ableitungsnullstellen erhalten mehrfache Nullstellen, die die Achse nur berühren.
Ein lineares Polynom besitzt eine von null verschiedene konstante Ableitung und liefert deshalb eine leere Liste.
Ordnen Sie die Ergebnisse richtig ein und beachten Sie die Grenzen
Ein kritischer Punkt kann ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder ein stationärer Wendepunkt sein. Allein die Lösung von f'(x)=0 reicht aber nicht zur Klassifizierung. Untersuchen Sie das Vorzeichen der Ableitung auf beiden Seiten, verwenden Sie einen geeigneten Ableitungstest oder berechnen Sie höhere Ableitungen.
Der Rechner gibt bewusst nur die verlangten x-Werte sowie die Koeffizienten der Ableitung aus, damit sich die Berechnung nachvollziehen lässt. Er löst keine komplexen Nullstellen, legt kein geschlossenes Intervall fest, ergänzt keine Intervallgrenzen, wertet f(x) an den Punkten nicht aus und zeichnet keinen Graphen. Diese Aufgaben sind eigenständige Schritte mit anderen Eingabeanforderungen.
Weil die Nullstellensuche numerisch erfolgt, erscheinen irrationale Resultate als Dezimalnäherungen und nicht als Wurzelausdrücke oder symbolische Formeln. Innerhalb der festgelegten Grenzen für Grad und Koeffizienten arbeitet das Verfahren deterministisch: Es verwendet weder Netzwerk noch Zufall, gespeicherten Zustand oder aktuelle Zeit. Gleiche Eingaben erzeugen daher stets gleiche Ausgaben.
Das eignet sich für Übungsprüfungen ebenso wie für Datenabläufe, die maschinenlesbare Kandidaten für Richtungsänderungen benötigen.
Anwendungsfälle
Eine Analysisaufgabe prüfen
Vergleichen Sie Ihr abgeleitetes Polynom und die kritischen x-Werte mit einem strukturierten, deterministischen Ergebnis.
Mögliche Richtungsänderungen finden
Bestimmen Sie reelle Ableitungsnullstellen, die Maxima, Minima oder stationäre Wendepunkte sein können.
Häufige Fragen
In welcher Reihenfolge gebe ich die Koeffizienten ein?
Listen Sie sie von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied auf und setzen Sie für jede fehlende Zwischenpotenz eine Null ein.
Gibt der Rechner komplexe kritische Punkte zurück?
Nein. Für ein Polynom mit reeller Variable werden ausschließlich reelle x-Werte ausgegeben.
Warum liefert ein lineares Polynom eine leere Liste?
Seine Ableitung ist eine von null verschiedene Konstante; deshalb gibt es kein x, an dem sie null wird.
Ist jeder ausgegebene Punkt ein Maximum oder Minimum?
Nein. Er kann auch ein stationärer Wendepunkt sein. Klassifizieren Sie ihn durch Vorzeichenprüfung oder höhere Ableitungen.
Liefert der Rechner auch die y-Werte der kritischen Punkte?
Nein, er gibt nur die x-Koordinaten sortiert aus, zusammen mit der verwendeten Ableitung. Die Höhe jedes Punktes erhalten Sie, indem Sie diese x-Werte in das ursprüngliche Polynom einsetzen, bei x³ − 3x + 2 also −1 und 1.
Wie groß darf das Polynom sein?
Bis zu zwölf Koeffizienten, also höchstens Grad elf. Jeder Koeffizient muss eine endliche Zahl sein, deren Betrag eine Billion nicht übersteigt. Ganze Zahlen, Dezimalzahlen und negative Werte sind erlaubt.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,2]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,2]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.critical_points_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Geben Sie das Polynom als geordnete Koeffizientenliste ein
Dadurch bleibt dieselbe Eingabe sowohl im Browser als auch in einem API-Ablauf zuverlässig.
Verstehen Sie den Zusammenhang zwischen Ableitungsnullstellen und kritischen Punkten
Das Array critical_points enthält ausschließlich x-Koordinaten und keine zugehörigen y-Werte. Die Werte werden aufsteigend sortiert, nahe numerische Dubletten zusammengeführt und für stabiles JSON auf zwölf signifikante Stellen gerundet.
Ordnen Sie die Ergebnisse richtig ein und beachten Sie die Grenzen
Eine API-Anfrage kostet $0.002.
Integrationsbeispiele
Polynomanalysen automatisieren
Senden Sie Koeffizientenarrays über die API und verwenden Sie die sortierten kritischen Punkte in größeren mathematischen Abläufen.
Technische Fragen
Was kostet eine API-Anfrage?
Jede API-Anfrage kostet $0.002. Für interaktive Berechnungen können Sie die direkte Browserausführung nutzen.