Rechner für unbestimmte Integrale von Polynomen
Integrieren Sie 3x³ − 4x + 7 in einem Schritt und erhalten Sie (3/4)x⁴ − 2x² + 7x + C: Jeder Koeffizient wird durch seinen neuen Exponenten geteilt, Nullen halten fehlende Potenzen an ihrem Platz. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Koeffizienten
- 3, 0, -4, 7
- Koeffizienten der Stammfunktion
- 0,75, 0, -2, 7, 0
- Konstantes Glied
- C
Dieser Rechner wendet die umgekehrte Potenzregel direkt auf eine Koeffizientenliste an. Geben Sie die Werte von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied ein und setzen Sie für jede fehlende Potenz eine Null ein. Das Ergebnis liefert die Koeffizienten der Stammfunktion in derselben Reihenfolge, ergänzt eine Null als Platzhalter der freien Konstante und kennzeichnet die Integrationskonstante mit C. So können Sie das gesamte Polynom integrieren, ohne einen symbolischen Ausdruck einzugeben.
Das Polynom als Koeffizienten darstellen
Schreiben Sie das Polynom zunächst nach absteigenden Potenzen. Die Liste [3, 0, -4, 7] steht beispielsweise für 3x³ + 0x² - 4x + 7. Die Null ist wichtig, weil sie die Stelle der fehlenden quadratischen Potenz bewahrt.
Der erste Koeffizient gehört stets zur höchsten Potenz, die sich aus der Listenlänge ergibt; der letzte ist das ursprüngliche konstante Glied. Eine Liste mit nur einem Wert beschreibt deshalb ein konstantes Polynom und keinen leeren Ausdruck. Verwenden Sie ausschließlich endliche Zahlen und behalten Sie alle erforderlichen Nullen zwischen von null verschiedenen Gliedern bei.
Führende Nullen sind ebenfalls zulässig und behalten ihre Position. Dieser positionsbezogene Vertrag vermeidet Mehrdeutigkeiten durch algebraische Schreibweisen, Variablennamen, Vorzeichen oder ausgelassene Potenzen. Außerdem lassen sich Daten aus numerischer Software, Tabellenkalkulationen oder vorherigen Polynomoperationen unmittelbar verwenden.
Die Ausgabe folgt derselben Reihenfolge und kann bequem weiterverarbeitet werden.
Die umgekehrte Potenzregel anwenden
Bei jedem Glied a·xⁿ erhöht die Integration den Exponenten um eins und teilt den Koeffizienten durch diesen neuen Exponenten. Das Ergebnis lautet a/(n+1)·xⁿ⁺¹. Der Rechner leitet jeden ursprünglichen Exponenten aus der Position des Koeffizienten ab und führt diese Division für die gesamte Liste aus.
Aus [3, 0, -4, 7] werden 3/4·x⁴, 0·x³, -2·x² und 7x. Die zurückgegebene Liste erhält anschließend eine abschließende Null für die Konstante. Dadurch erhalten numerische Programme ein einheitlich geformtes Array, während eine mathematische Anzeige + C ergänzen kann.
Wenn Sie die ausgegebenen Koeffizienten ohne die Konstante ableiten, erhalten Sie die ursprüngliche Liste zurück und können Reihenfolge sowie Rechnung prüfen.
Das Ergebnis verstehen und verwenden
Gibt eine spätere Bedingung einen Punkt und einen Funktionswert vor, bestimmen Sie C separat und ersetzen den letzten Platzhalter durch diesen Zahlenwert. Diese Fähigkeit berechnet keine bestimmten Integrale, vereinfacht keine symbolischen Brüche, liest keine eingegebenen algebraischen Ausdrücke und löst keine Anfangswertaufgaben. Dezimaldivisionen verwenden die übliche JavaScript-Zahlenarithmetik; ein Drittel erscheint daher als Gleitkommanäherung.
Dafür ist die Antwort stabil und reproduzierbar: Netzwerk, gespeicherter Zustand, Zufall und Systemzeit spielen keine Rolle.
Anwendungsfälle
Eine Analysisaufgabe prüfen
Vergleichen Sie Ihre manuelle Anwendung der umgekehrten Potenzregel mit einer deterministischen Berechnung für jeden Koeffizienten.
Ein Übungsblatt erstellen
Erzeugen Sie Lösungen für Polynom-Integrationen und bewahren Sie fehlende Potenzen als ausdrückliche Nullen.
Eine numerische Verarbeitung fortsetzen
Wandeln Sie Polynomkoeffizienten in ein geordnetes Stammfunktions-Array für spätere Auswertungen oder Bedingungen um.
Häufige Fragen
In welcher Reihenfolge werden Koeffizienten eingegeben?
Verwenden Sie die absteigende Reihenfolge vom Koeffizienten der höchsten Potenz bis zum ursprünglichen konstanten Glied.
Wie wird eine fehlende Potenz dargestellt?
Setzen Sie an der betreffenden Stelle eine Null ein. Ohne sie würden sich alle folgenden Koeffizienten verschieben.
Warum endet das ausgegebene Array mit einer Null?
Die letzte Null ist ein numerischer Platzhalter für die beliebige Konstante.
Kann ein konstantes Polynom integriert werden?
Ja. Die Eingabe [a] liefert [a, 0]; dies entspricht ax + C.
Was ist die Stammfunktion von 3x³ − 4x + 7?
Sie lautet (3/4)x⁴ − 2x² + 7x + C. Geben Sie 3, 0, −4 und 7 ein, wobei die Null für das fehlende x²-Glied steht. Der Rechner liefert diese Glieder in derselben Reihenfolge und dazu eine abschließende 0, die den Platz von C freihält.
Warum endet das Ergebnis mit einer Null?
Die letzte Null ist ein Platzhalter für die Integrationskonstante C, die frei wählbar ist. Kennen Sie einen Punkt der gesuchten Funktion, bestimmen Sie C daraus und setzen den Wert an diese Stelle.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[3,0,-4,7]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
3,
0,
-4,
7
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
3,
0,
-4,
7
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[3,0,-4,7]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[3,0,-4,7]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"coefficients": [
3,
0,
-4,
7
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.indefinite_integral_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die umgekehrte Potenzregel anwenden
Diese Null bedeutet nicht, dass jede Stammfunktion die Konstante null besitzt; sie ist ein numerischer Platzhalter, während das Feld constant_term die beliebige reelle Konstante C ausweist.
Das Ergebnis verstehen und verwenden
Lesen Sie antiderivative_coefficients von links nach rechts als Koeffizienten eines Polynoms, dessen Grad um eins höher als der Eingabegrad ist; die letzte Null dient als numerischer Platzhalter für die Integrationskonstante. Das Feld constant_term erinnert mit C daran, dass ein unbestimmtes Integral eine Funktionsfamilie und keine einzelne Funktion beschreibt.
Technische Fragen
Enthält das Ergebnis exakte Brüche?
Nein. Die Koeffizienten sind JSON-Zahlen; nicht endende Brüche werden als übliche Gleitkommanäherungen ausgegeben.
Was kostet eine API-Anfrage?
Jede API-Anfrage kostet $0.002. Die Browserversion läuft lokal und führt keine Berechnung über das Netzwerk aus.