Calculadora de integral indefinida de polinômios
Integre 3x³ − 4x + 7 de uma vez e obtenha (3/4)x⁴ − 2x² + 7x + C: cada coeficiente é dividido pelo novo expoente, e os zeros mantêm no lugar as potências ausentes. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Coeficientes
- 3, 0, -4, 7
- Coeficientes da antiderivada
- 0,75, 0, -2, 7, 0
- Termo constante
- C
Esta calculadora de integral indefinida aplica a regra inversa da potência diretamente a uma lista de coeficientes. Informe os valores da maior potência até o termo constante e mantenha um zero para cada potência ausente. O resultado fornece os coeficientes da primitiva na mesma ordem, acrescenta um zero como posição da constante livre e identifica a constante de integração como C. Assim, você integra todo o polinômio sem precisar digitar uma expressão simbólica.
Represente o polinômio com coeficientes
Comece escrevendo o polinômio em ordem decrescente de potências. Por exemplo, a lista [3, 0, -4, 7] representa 3x³ + 0x² - 4x + 7. O zero é importante porque preserva a posição da potência quadrática ausente.
O primeiro coeficiente sempre corresponde à maior potência indicada pelo tamanho da lista, e o último é o termo constante original. Portanto, uma lista com um único valor representa um polinômio constante, e não uma expressão vazia. Use somente números finitos e mantenha todos os zeros necessários entre termos não nulos.
Zeros iniciais também são aceitos e conservam suas posições. Esse contrato posicional elimina ambiguidades da notação algébrica, de nomes de variáveis, sinais ou potências omitidas. Ele também facilita o uso de dados copiados de programas numéricos, planilhas ou operações polinomiais anteriores.
A resposta mantém a convenção da maior potência para a menor, pronta para outro cálculo compatível.
Aplique a regra inversa da potência
Para cada termo a·xⁿ, a integração aumenta o expoente em um e divide o coeficiente pelo novo expoente, produzindo a/(n+1)·xⁿ⁺¹. A calculadora determina cada expoente original pela posição do coeficiente e realiza essa divisão em toda a lista. Para [3, 0, -4, 7], os termos passam a ser 3/4·x⁴, 0·x³, -2·x² e 7x.
A lista retornada recebe ainda uma última posição zero para a constante. A separação é útil em software: consumidores numéricos recebem um array de formato estável, enquanto uma resposta matemática pode acrescentar + C. Se você derivar os coeficientes retornados, desconsiderando a constante, recuperará a lista original.
Essa é uma verificação simples tanto da ordem quanto da aritmética aplicada.
Interprete e aproveite o resultado
Se uma condição posterior especificar um ponto e o valor da função, determine C separadamente e substitua o marcador final por esse valor numérico. Esta capacidade não calcula integrais definidas, não simplifica frações simbólicas, não interpreta uma expressão algébrica digitada e não resolve um problema de valor inicial. A divisão decimal usa a aritmética numérica padrão do JavaScript, portanto valores como um terço aparecem como aproximações de ponto flutuante.
Em compensação, o resultado é estável e repetível: não há rede, armazenamento, aleatoriedade nem dependência do relógio.
Casos de uso
Conferir um exercício de cálculo
Compare a regra inversa da potência feita à mão com uma primitiva determinística calculada coeficiente por coeficiente.
Montar uma lista de exercícios
Gere respostas para integrações polinomiais preservando potências ausentes como zeros explícitos.
Prosseguir em um pipeline numérico
Transforme coeficientes polinomiais em um array ordenado da primitiva para avaliação ou aplicação posterior de uma condição.
Perguntas frequentes
Em que ordem devo informar os coeficientes?
Use a ordem decrescente, do coeficiente da maior potência até o termo constante original.
Como represento uma potência ausente?
Inclua um zero na posição correspondente. Omiti-lo deslocaria todos os coeficientes seguintes.
Por que o array retornado termina em zero?
O zero final é um marcador numérico para a constante arbitrária.
A ferramenta integra um polinômio constante?
Sim. Uma entrada de valor único [a] retorna [a, 0], que corresponde a ax + C.
Qual é a integral indefinida de 3x³ − 4x + 7?
É (3/4)x⁴ − 2x² + 7x + C. Informe 3, 0, −4 e 7, com o zero no lugar do termo em x² que falta, e a calculadora devolve esses termos na mesma ordem, seguidos de um 0 final que guarda o lugar de C.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[3,0,-4,7]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
3,
0,
-4,
7
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
3,
0,
-4,
7
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[3,0,-4,7]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[3,0,-4,7]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"coefficients": [
3,
0,
-4,
7
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.indefinite_integral_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Aplique a regra inversa da potência
Esse zero não significa que toda primitiva tenha constante nula; ele é apenas um marcador numérico, enquanto o campo constant_term informa C, a constante real arbitrária.
Interprete e aproveite o resultado
Leia antiderivative_coefficients da esquerda para a direita como os coeficientes de um polinômio com grau uma unidade maior que o original; o zero final é o marcador numérico da constante de integração. Leia constant_term como o lembrete simbólico C de que uma integral indefinida descreve uma família de funções, e não uma única função.
Perguntas técnicas
O resultado traz frações exatas?
Não. Os coeficientes são números JSON; frações não terminantes usam aproximações padrão de ponto flutuante.
Qual é o custo de uma solicitação API?
Cada solicitação API custa US$ 0,002. A versão no navegador é executada localmente, sem cálculo pela rede.