Calcolatore dell'integrale indefinito di un polinomio
Integri 3x³ − 4x + 7 in un solo passaggio e ottenga (3/4)x⁴ − 2x² + 7x + C: ogni coefficiente viene diviso per il nuovo esponente e gli zeri tengono al loro posto le potenze mancanti. Gratis nel suo browser.
- Gratis
- Funziona nel suo browser
- Senza registrazione
- I suoi dati restano sul dispositivo
Esegui gratis nel browser
Esempio risolto
- Coefficienti
- 3, 0, -4, 7
- Coefficienti della primitiva
- 0,75, 0, -2, 7, 0
- Termine costante
- C
Questo calcolatore applica la regola inversa della potenza direttamente a un elenco di coefficienti. Inserisca i valori dalla potenza più alta al termine costante e mantenga uno zero per ogni potenza mancante. Il risultato restituisce i coefficienti della primitiva nello stesso ordine, aggiunge uno zero come posizione della costante libera e indica con C la costante di integrazione arbitraria. In questo modo Lei può integrare l'intero polinomio senza digitare un'espressione simbolica.
Rappresentare il polinomio con i coefficienti
Scriva anzitutto il polinomio in ordine decrescente di potenza. Per esempio, l'elenco [3, 0, -4, 7] rappresenta 3x³ + 0x² - 4x + 7. Lo zero è indispensabile perché conserva la posizione della potenza quadratica mancante.
Il primo coefficiente appartiene sempre alla potenza più alta implicata dalla lunghezza dell'elenco, mentre l'ultimo è il termine costante originale. Un elenco con un solo valore rappresenta quindi un polinomio costante, non un'espressione vuota. Inserisca esclusivamente numeri finiti e mantenga tutti gli zeri necessari fra i termini non nulli.
Sono accettati anche gli zeri iniziali, che conservano la propria posizione. Questo contratto posizionale elimina le ambiguità della notazione algebrica, dei nomi delle variabili, dei segni e delle potenze omesse. Consente inoltre di usare dati provenienti da software numerici, fogli di calcolo o precedenti operazioni polinomiali.
Applicare la regola inversa della potenza
Per ogni termine a·xⁿ, l'integrazione aumenta l'esponente di uno e divide il coefficiente per il nuovo esponente, ottenendo a/(n+1)·xⁿ⁺¹. Il calcolatore ricava ciascun esponente originale dalla posizione del coefficiente ed esegue la divisione sull'intero elenco. Con [3, 0, -4, 7], i termini diventano 3/4·x⁴, 0·x³, -2·x² e 7x.
L'elenco restituito include poi uno zero finale per la costante. Questa separazione è utile nel software, perché i processi numerici ricevono un array di forma stabile e una visualizzazione matematica può aggiungere + C. Derivando i coefficienti restituiti, a eccezione della costante, Lei recupera l'elenco originale e può verificare ordine e calcolo.
Interpretare e utilizzare il risultato
Se una condizione successiva specifica un punto e il valore della funzione, determini C separatamente e sostituisca lo zero finale con quel valore numerico. Questa capacità non calcola integrali definiti, non semplifica frazioni simboliche, non interpreta espressioni algebriche digitate e non risolve problemi ai valori iniziali. Le divisioni decimali seguono l'aritmetica numerica standard di JavaScript, quindi un terzo viene rappresentato mediante un'approssimazione in virgola mobile.
Il risultato resta però stabile e ripetibile: non usa rete, memoria persistente, casualità o orologio.
Casi d'uso
Verificare un esercizio di analisi
Confronti la regola inversa della potenza svolta a mano con una primitiva deterministica calcolata coefficiente per coefficiente.
Preparare una scheda di esercizi
Generi risposte per integrazioni polinomiali conservando le potenze mancanti come zeri espliciti.
Proseguire una pipeline numerica
Trasformi i coefficienti in un array ordinato della primitiva per una valutazione o una condizione successiva.
Domande frequenti
In quale ordine vanno inseriti i coefficienti?
Usi l'ordine decrescente, dal coefficiente della potenza più alta al termine costante originale.
Come si rappresenta una potenza mancante?
Inserisca uno zero nella posizione corrispondente. Ometterlo sposterebbe tutti i coefficienti successivi.
Perché l'array restituito termina con zero?
Lo zero finale è un segnaposto numerico per la costante arbitraria.
È possibile integrare un polinomio costante?
Sì. Un input composto dal solo valore [a] restituisce [a, 0], che corrisponde ad ax + C.
Qual è l’integrale indefinito di 3x³ − 4x + 7?
È (3/4)x⁴ − 2x² + 7x + C. Inserisca 3, 0, −4 e 7, con lo zero al posto del termine in x² mancante, e il calcolatore restituisce questi termini nello stesso ordine, seguiti da uno 0 finale che tiene il posto di C.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[3,0,-4,7]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
3,
0,
-4,
7
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
3,
0,
-4,
7
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[3,0,-4,7]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[3,0,-4,7]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"coefficients": [
3,
0,
-4,
7
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.indefinite_integral_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Applicare la regola inversa della potenza
Tale zero non afferma che ogni primitiva abbia costante nulla: è un segnaposto numerico, mentre il campo constant_term riporta C, la costante reale arbitraria.
Interpretare e utilizzare il risultato
Legga antiderivative_coefficients da sinistra a destra come i coefficienti di un polinomio con grado superiore di uno rispetto all'input; lo zero finale è il segnaposto numerico della costante di integrazione. Il campo constant_term ricorda tramite C che un integrale indefinito descrive una famiglia di funzioni, non una funzione unica.
Domande tecniche
Il risultato contiene frazioni esatte?
No. I coefficienti sono numeri JSON; le frazioni non terminate usano approssimazioni standard in virgola mobile.
Quanto costa una richiesta API?
Ogni richiesta API costa $0.002. La versione nel browser viene eseguita localmente, senza calcoli in rete.