Calcolatore dei punti critici di un polinomio
I punti critici di x³ − 3x + 2 sono −1 e 1, dove la derivata 3x² − 3 si annulla. Inserisca i coefficienti, dalla potenza più alta alla più bassa, per ottenere la derivata e l’elenco ordinato dei punti critici reali. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Coefficienti
- 1, 0, -3, 2
- Grado del polinomio
- 3
- Coefficienti della derivata
- 3, 0, -3
- Punti critici
- -1, 1
- Quantità
- 2
Il calcolatore dei punti critici di un polinomio deriva il polinomio e individua ogni valore reale di x per il quale la derivata è uguale a zero. Inserisca i coefficienti dalla potenza più alta fino al termine costante, mantenendo uno zero quando manca una potenza. Il risultato comprende i coefficienti della derivata, il grado del polinomio e un elenco ordinato dei punti critici. Lo strumento consente a Lei di controllare esercizi di analisi, individuare possibili punti di svolta e ottenere risultati strutturati per elaborazioni automatiche senza dipendere dalla notazione simbolica.
Inserisca il polinomio come elenco ordinato di coefficienti
Scriva i coefficienti in ordine decrescente di potenza, partendo da quello della potenza più alta e terminando con il termine costante. Per esempio, x al cubo meno 3x più 2 va inserito come [1, 0, -3, 2]. Lo zero è indispensabile perché conserva il posto del termine quadratico mancante.
Il primo coefficiente significativo deve essere diverso da zero, anche se gli zeri iniziali ininfluenti vengono rimossi automaticamente. Servono almeno due valori, perché un polinomio costante non possiede un elenco finito di punti critici isolati: la sua derivata è zero ovunque. Il calcolatore accetta fino a dodici coefficienti, quindi il polinomio originale può raggiungere il grado undici.
Ogni coefficiente deve essere un numero finito con valore assoluto non superiore a mille miliardi. Sono ammessi interi, decimali, numeri negativi e zeri espliciti per tutte le potenze mancanti.
Comprenda come le radici della derivata diventano punti critici
Per un polinomio f, un punto critico interno si presenta dove f'(x) è zero oppure non è definita. Le derivate polinomiali sono definite per ogni x reale, quindi il calcolatore deve soltanto risolvere f'(x)=0. Prima applica la regola della potenza termine per termine e restituisce l’elenco dei coefficienti ottenuti.
Successivamente individua tutti gli zeri reali della derivata. Il risolutore numerico usa in modo ricorsivo le radici delle derivate successive per suddividere la retta reale in intervalli nei quali il polinomio è monotono. Un limite standard delle radici fornisce estremi finiti, i cambiamenti di segno vengono raffinati con la bisezione e il controllo sulle radici della derivata conserva le radici multiple che toccano l’asse senza attraversarlo.
Un polinomio lineare ha derivata costante non nulla e restituisce quindi un elenco vuoto.
Utilizzi correttamente i risultati e ne riconosca i limiti
Un punto critico può essere un massimo locale, un minimo locale o un flesso stazionario, ma risolvere f'(x)=0 non basta a classificarlo. Esamini il segno della derivata sui due lati, applichi un test della derivata adeguato oppure calcoli derivate di ordine superiore. Il calcolatore restituisce intenzionalmente soltanto i valori x richiesti, insieme ai coefficienti della derivata che rendono verificabile il calcolo.
Non risolve radici complesse, non impone un intervallo chiuso, non aggiunge gli estremi di un intervallo, non valuta f(x) in ciascun punto e non traccia grafici. Queste operazioni sono passaggi distinti e richiedono informazioni diverse. Poiché la ricerca delle radici è numerica, le risposte irrazionali vengono fornite come approssimazioni decimali e non come radicali o espressioni simboliche.
Entro i limiti dichiarati per grado e coefficienti, il procedimento è deterministico: non utilizza rete, casualità, stato salvato o ora corrente, quindi lo stesso input genera sempre lo stesso output. È utile per controllare gli esercizi e anche per pipeline che richiedono possibili punti di svolta in formato leggibile dalla macchina.
Casi d'uso
Controllare un esercizio di analisi
Confronti il polinomio derivato e i valori critici di x con un risultato strutturato e deterministico.
Individuare possibili punti di svolta
Trovi le radici reali della derivata che possono essere massimi, minimi o flessi stazionari.
Domande frequenti
In quale ordine devo inserire i coefficienti?
Li elenchi dalla potenza più alta al termine costante, usando zero per ogni potenza intermedia mancante.
Il calcolatore restituisce punti critici complessi?
No. Per un polinomio in una variabile reale vengono riportati soltanto valori reali di x.
Perché un polinomio lineare restituisce un elenco vuoto?
La sua derivata è una costante diversa da zero, quindi non esiste alcun x in cui essa si annulli.
Ogni punto restituito è un massimo o un minimo?
No. Può anche essere un flesso stazionario. Lo classifichi con un test dei segni o con derivate superiori.
Fornisce anche i valori di y dei punti critici?
No, restituisce solo le ascisse, in ordine, insieme alla derivata usata per trovarle. Per conoscere l'altezza di ogni punto, valuti il polinomio originale in quei valori di x; per x³ − 3x + 2, sostituisca −1 e 1.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,2]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,2]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.critical_points_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Inserisca il polinomio come elenco ordinato di coefficienti
Questa rappresentazione elimina ambiguità relative a variabili, simboli degli esponenti, segni di moltiplicazione e spazi, rendendo lo stesso input affidabile sia nel browser sia in un flusso tramite API.
Comprenda come le radici della derivata diventano punti critici
L’array critical_points contiene solo le coordinate x, non i corrispondenti valori y. I valori sono ordinati dal minore al maggiore, i duplicati numericamente vicini vengono uniti e i risultati sono arrotondati a dodici cifre significative per ottenere un JSON stabile.
Utilizzi correttamente i risultati e ne riconosca i limiti
Ogni richiesta API costa $0.002.
Casi di integrazione
Automatizzare l’analisi dei polinomi
Invii array di coefficienti tramite l’API e riutilizzi i punti critici ordinati in un flusso matematico più ampio.
Domande tecniche
Quanto costa una richiesta tramite API?
Ogni richiesta tramite API costa $0.002. L’esecuzione diretta nel browser è disponibile per i calcoli interattivi.