Calculadora de puntos críticos de un polinomio
Los puntos críticos de x³ − 3x + 2 son −1 y 1, donde su derivada 3x² − 3 vale cero. Introduzca los coeficientes, de mayor a menor potencia, y obtendrá la derivada y la lista ordenada de puntos críticos reales. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Coeficientes
- 1, 0, -3, 2
- Grado del polinomio
- 3
- Coeficientes de la derivada
- 3, 0, -3
- Puntos críticos
- -1, 1
- Cantidad
- 2
La calculadora de puntos críticos de un polinomio deriva la expresión y encuentra cada valor real de x para el que la derivada es cero. Introduzca los coeficientes desde la potencia más alta hasta el término constante y mantenga un cero cuando falte alguna potencia. El resultado incluye los coeficientes de la derivada, el grado del polinomio y una lista ordenada de puntos críticos. Está pensada para comprobar ejercicios de cálculo, localizar posibles puntos de giro y obtener resultados estructurados para análisis automatizados sin depender de notación simbólica.
Introduzca el polinomio como una lista ordenada de coeficientes
Escriba los coeficientes en orden descendente de potencias, empezando por el de la potencia más alta y terminando por el término constante. Por ejemplo, x al cubo menos 3x más 2 se introduce como [1, 0, -3, 2]. El cero es imprescindible porque ocupa el lugar del término cuadrático ausente.
El primer coeficiente significativo debe ser distinto de cero, aunque los ceros iniciales inocuos se eliminan automáticamente. Se necesitan al menos dos valores, porque un polinomio constante no posee una lista finita de puntos críticos aislados: su derivada vale cero en todas partes. Se admiten hasta doce coeficientes, por lo que el polinomio original puede alcanzar el grado once.
Cada coeficiente debe ser un número finito cuyo valor absoluto no supere un billón. Puede utilizar enteros, decimales, valores negativos y ceros explícitos para las potencias ausentes.
Comprenda por qué las raíces de la derivada son puntos críticos
Para un polinomio f, un punto crítico interior aparece donde f'(x) vale cero o no está definida. Las derivadas polinómicas están definidas para todo x real, por lo que esta calculadora solo debe resolver f'(x)=0. Primero aplica la regla de la potencia término a término y devuelve la lista de coeficientes resultante.
Después localiza todos los ceros reales de esa derivada. El solucionador numérico utiliza recursivamente las raíces de derivadas sucesivas para dividir la recta real en intervalos donde el polinomio es monótono. Una cota estándar de raíces proporciona extremos finitos, los cambios de signo se refinan mediante bisección y la comprobación de raíces de la derivada conserva las raíces repetidas que tocan el eje sin atravesarlo.
Un polinomio lineal tiene derivada constante no nula y devuelve una lista vacía.
Interprete correctamente los resultados y sus límites
Un punto crítico puede ser un máximo local, un mínimo local o un punto de inflexión estacionario, pero resolver f'(x)=0 no basta para clasificarlo. Examine el signo de la derivada a ambos lados, aplique una prueba de derivadas adecuada o evalúe derivadas de orden superior. La calculadora devuelve deliberadamente solo los valores x solicitados, junto con los coeficientes de la derivada que permiten auditar el cálculo.
No resuelve raíces complejas, no impone un intervalo cerrado, no añade extremos del intervalo, no evalúa f(x) en cada punto ni dibuja una gráfica. Esas operaciones son pasos distintos y necesitan otros datos. Como la búsqueda de raíces es numérica, las respuestas irracionales aparecen como aproximaciones decimales, no como radicales ni expresiones simbólicas.
Dentro de los límites declarados de grado y coeficientes, el procedimiento es determinista: no utiliza red, azar, estado guardado ni hora actual, por lo que una entrada idéntica produce siempre la misma salida. Resulta útil tanto para revisar ejercicios como para alimentar procesos que necesitan candidatos a puntos de giro legibles por máquina.
Qué puede hacer con ella
Comprobar un ejercicio de cálculo
Compare el polinomio derivado y sus valores x críticos con un resultado estructurado y determinista.
Localizar posibles puntos de giro
Encuentre las raíces reales de la derivada que pueden ser máximos, mínimos o puntos de inflexión estacionarios.
Preguntas frecuentes
¿En qué orden debo introducir los coeficientes?
Enumérelos desde la potencia más alta hasta el término constante y escriba cero por cada potencia intermedia ausente.
¿Devuelve la calculadora puntos críticos complejos?
No. Para un polinomio de variable real solo se comunican los valores reales de x.
¿Por qué un polinomio lineal devuelve una lista vacía?
Su derivada es una constante distinta de cero, así que no existe ningún x donde esa derivada se anule.
¿Cada punto devuelto es un máximo o un mínimo?
No. También puede ser un punto de inflexión estacionario. Clasifíquelo con una prueba de signos o derivadas superiores.
¿Da también los valores de y de los puntos críticos?
No, devuelve solo las coordenadas x, ordenadas, junto con la derivada usada para hallarlas. Para conocer la altura de cada punto, evalúe el polinomio original en esos valores de x; en x³ − 3x + 2, sustituya −1 y 1.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,2]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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0,
-3,
2
]
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});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
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1,
0,
-3,
2
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,2]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.critical_points_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Introduzca el polinomio como una lista ordenada de coeficientes
Esta representación evita ambigüedades sobre variables, exponentes, signos de multiplicación y espacios, y ofrece una entrada fiable tanto en el navegador como en procesos mediante API.
Comprenda por qué las raíces de la derivada son puntos críticos
El array critical_points solo contiene coordenadas x; no incluye sus valores y correspondientes. Los valores se ordenan de menor a mayor, se fusionan los duplicados numéricos próximos y se redondean a doce cifras significativas para estabilizar el JSON.
Interprete correctamente los resultados y sus límites
Cada solicitud mediante API cuesta $0.002.
Casos de integración
Automatizar el análisis de polinomios
Envíe arrays de coeficientes mediante la API y reutilice los puntos críticos ordenados en un proceso matemático mayor.
Preguntas técnicas
¿Cuánto cuesta una solicitud mediante API?
Cada solicitud mediante API cuesta $0.002. La ejecución directa en el navegador está disponible para cálculos interactivos.