Calculateur des points critiques d’un polynôme
Les points critiques de x³ − 3x + 2 sont −1 et 1, là où la dérivée 3x² − 3 s’annule. Saisissez les coefficients, puissance la plus haute d’abord, pour obtenir la dérivée et la liste triée des points critiques réels. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Coefficients
- 1, 0, -3, 2
- Degré du polynôme
- 3
- Coefficients de la dérivée
- 3, 0, -3
- Points critiques
- -1, 1
- Quantité
- 2
Le calculateur de points critiques d’un polynôme dérive le polynôme et trouve chaque valeur réelle de x pour laquelle la dérivée est nulle. Saisissez les coefficients depuis la puissance la plus élevée jusqu’au terme constant, en conservant un zéro lorsqu’une puissance manque. Le résultat contient les coefficients de la dérivée, le degré du polynôme et une liste triée des points critiques. Cet outil vous permet de vérifier des exercices d’analyse, de repérer d’éventuels points de retournement et de produire des résultats structurés pour une analyse automatisée sans notation symbolique.
Saisissez le polynôme sous forme de liste ordonnée de coefficients
Indiquez les coefficients par puissances décroissantes, en commençant par celui de la puissance la plus élevée et en terminant par le terme constant. Par exemple, x au cube moins 3x plus 2 se saisit sous la forme [1, 0, -3, 2]. Le zéro est indispensable, car il réserve la place du terme quadratique absent.
Le premier coefficient significatif doit être non nul, même si les zéros initiaux sans effet sont supprimés automatiquement. Il faut au moins deux valeurs, car un polynôme constant ne possède pas une liste finie de points critiques isolés : sa dérivée est nulle partout. Le calculateur accepte jusqu’à douze coefficients, ce qui autorise un polynôme initial de degré onze.
Chaque coefficient doit être un nombre fini dont la valeur absolue ne dépasse pas mille milliards. Les entiers, les décimaux, les nombres négatifs et les zéros explicites correspondant aux puissances absentes sont admis.
Comprenez comment les racines de la dérivée donnent les points critiques
Pour un polynôme f, un point critique intérieur se trouve là où f'(x) est nulle ou non définie. La dérivée d’un polynôme étant définie pour tout x réel, ce calculateur doit seulement résoudre f'(x)=0. Il applique d’abord la règle de puissance terme par terme et renvoie la liste de coefficients obtenue.
Il localise ensuite tous les zéros réels de cette dérivée. Le solveur numérique utilise récursivement les racines des dérivées successives pour partager la droite réelle en intervalles sur lesquels le polynôme est monotone. Une borne classique des racines fournit des extrémités finies, les changements de signe sont affinés par dichotomie et le contrôle aux racines de la dérivée conserve les racines multiples qui touchent l’axe sans le traverser.
Un polynôme affine possède une dérivée constante non nulle et renvoie donc une liste vide.
Interprétez correctement les résultats et leurs limites
Un point critique peut être un maximum local, un minimum local ou un point d’inflexion stationnaire, mais la résolution de f'(x)=0 ne suffit pas à le classer. Étudiez le signe de la dérivée de part et d’autre, appliquez un test de dérivation approprié ou calculez des dérivées d’ordre supérieur. Le calculateur fournit volontairement les seules valeurs x demandées, accompagnées des coefficients de la dérivée qui rendent le calcul vérifiable.
Il ne résout pas les racines complexes, n’impose aucun intervalle fermé, n’ajoute pas les bornes d’un intervalle, n’évalue pas f(x) à chaque point et ne trace pas de graphique. Ces opérations constituent des étapes distinctes nécessitant d’autres données. La recherche étant numérique, les réponses irrationnelles sont données sous forme d’approximations décimales plutôt que de radicaux ou d’expressions symboliques.
Dans les limites déclarées de degré et de coefficients, la procédure est déterministe : elle n’utilise ni réseau, ni hasard, ni état enregistré, ni heure actuelle. Une entrée identique produit donc toujours la même sortie. Elle convient aussi bien à la vérification d’exercices qu’aux traitements ayant besoin de points de retournement candidats lisibles par machine.
Cas d’usage
Vérifier un exercice d’analyse
Comparez votre polynôme dérivé et ses valeurs critiques de x avec un résultat structuré et déterministe.
Repérer les points de retournement possibles
Trouvez les racines réelles de la dérivée susceptibles d’être des maximums, des minimums ou des inflexions stationnaires.
Questions fréquentes
Dans quel ordre faut-il saisir les coefficients ?
Énumérez-les de la puissance la plus élevée au terme constant, avec un zéro pour chaque puissance intermédiaire absente.
Le calculateur renvoie-t-il des points critiques complexes ?
Non. Pour un polynôme d’une variable réelle, seules les valeurs réelles de x sont indiquées.
Pourquoi un polynôme affine renvoie-t-il une liste vide ?
Sa dérivée est une constante non nulle ; il n’existe donc aucune valeur x pour laquelle elle s’annule.
Chaque point renvoyé est-il un maximum ou un minimum ?
Non. Il peut aussi s’agir d’une inflexion stationnaire. Classez-le par une étude de signe ou avec des dérivées supérieures.
Le calculateur donne-t-il aussi les ordonnées des points critiques ?
Non, il renvoie seulement les abscisses, triées, avec la dérivée qui a servi à les trouver. Pour connaître la hauteur de chaque point, évaluez le polynôme d'origine en ces valeurs ; pour x³ − 3x + 2, remplacez x par −1 et 1.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
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Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,2]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
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0,
-3,
2
]
})
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,2]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.critical_points_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Saisissez le polynôme sous forme de liste ordonnée de coefficients
Cette représentation écarte toute ambiguïté concernant la variable, les symboles d’exposant, les signes de multiplication ou les espaces, et rend la même entrée fiable dans le navigateur comme dans un traitement par API.
Comprenez comment les racines de la dérivée donnent les points critiques
Le tableau critical_points contient uniquement les coordonnées x, sans les valeurs y correspondantes. Les valeurs sont classées par ordre croissant, les doublons numériques proches sont fusionnés et les résultats sont arrondis à douze chiffres significatifs afin de stabiliser le JSON.
Interprétez correctement les résultats et leurs limites
Une requête API coûte $0.002.
Cas d'intégration
Automatiser l’analyse polynomiale
Envoyez des tableaux de coefficients via l’API et réutilisez les points critiques triés dans un traitement mathématique plus vaste.
Questions techniques
Quel est le prix d’une requête API ?
Chaque requête API coûte $0.002. L’exécution directe dans le navigateur reste disponible pour les calculs interactifs.