حاسبة النقاط الحرجة لكثيرة الحدود
النقطتان الحرجتان لـ x³ − 3x + 2 هما −1 و1، حيث تنعدم المشتقة 3x² − 3. أدخل المعاملات من أعلى قوة إلى أدناها لتحصل على المشتقة وقائمة مرتبة بكل النقاط الحرجة الحقيقية. مجاني في متصفحك.
- مجاني
- يعمل في متصفحك
- دون تسجيل
- بياناتك لا تغادر جهازك
شغّل الأداة مجانًا
مثال محلول
- المعاملات
- 1, 0, -3, 2
- درجة كثيرة الحدود
- 3
- معاملات المشتقة
- 3, 0, -3
- النقاط الحرجة
- -1, 1
- الكمية
- 2
تشتق حاسبة النقاط الحرجة لكثيرة الحدود كثيرة الحدود، ثم تجد كل قيمة حقيقية لـ x تكون عندها المشتقة مساوية للصفر. أدخلوا المعاملات بالترتيب من أعلى قوة حتى الحد الثابت، وضعوا صفرًا في موضع كل قوة غير موجودة. تتضمن النتيجة معاملات المشتقة ودرجة كثيرة الحدود وقائمة مرتبة بالنقاط الحرجة. تفيدكم الأداة في مراجعة مسائل التفاضل، والعثور على المواضع المحتملة لتغير اتجاه المنحنى، وإنتاج نتائج منظمة للتحليل الآلي من دون الاعتماد على صياغة رمزية.
أدخلوا كثيرة الحدود في قائمة معاملات مرتبة
اكتبوا المعاملات بترتيب القوى تنازليًا، بدءًا بمعامل أعلى قوة وانتهاءً بالحد الثابت. فمثلًا، تُدخل كثيرة الحدود x تكعيب ناقص 3x زائد 2 بالشكل [1, 0, -3, 2]. وجود الصفر ضروري لأنه يحفظ موضع الحد التربيعي المفقود.
يجب ألا يساوي أول معامل فعلي صفرًا، مع أن الأصفار البادئة التي لا تؤثر في القيمة تُحذف تلقائيًا. يلزم إدخال قيمتين على الأقل، لأن كثيرة الحدود الثابتة لا تملك قائمة منتهية من النقاط الحرجة المنعزلة؛ فمشتقتها تساوي صفرًا في كل موضع. تقبل الحاسبة حتى اثني عشر معاملًا، وبذلك يمكن أن تصل درجة كثيرة الحدود الأصلية إلى إحدى عشرة.
يجب أن يكون كل معامل عددًا محدودًا لا تتجاوز قيمته المطلقة تريليونًا واحدًا. وتُقبل الأعداد الصحيحة والعشرية والسالبة، إلى جانب الأصفار الصريحة التي تمثل القوى المفقودة.
افهموا كيف تتحول جذور المشتقة إلى نقاط حرجة
تقع النقطة الحرجة الداخلية لكثيرة الحدود f حيث تساوي f'(x) صفرًا أو حيث لا تكون معرفة. ومشتقات كثيرات الحدود معرفة لكل قيمة حقيقية لـ x، لذلك يكفي أن تحل الحاسبة f'(x)=0. تطبق أولًا قاعدة القوة على كل حد وتعيد قائمة معاملات المشتقة الناتجة.
ثم تحدد جميع الأصفار الحقيقية لهذه المشتقة. يستخدم الحل العددي جذور المشتقات المتتالية بصورة تكرارية لتقسيم خط الأعداد الحقيقي إلى فترات تكون فيها كثيرة الحدود رتيبة. ويعطي حد قياسي للجذور طرفين محدودين، ثم تُدقق فترات تغير الإشارة بطريقة التنصيف، كما يضمن الفحص عند جذور المشتقة الاحتفاظ بالجذور المتكررة التي تلامس المحور من دون أن تعبره.
أما كثيرة الحدود الخطية فمشتقتها ثابت غير صفري، ولذلك تعيد قائمة فارغة.
استخدموا النتائج على نحو صحيح واعرفوا حدودها
قد تكون النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية أو قيمة صغرى محلية أو نقطة انعطاف أفقية، لكن حل f'(x)=0 وحده لا يصنفها. افحصوا إشارة المشتقة على جانبي النقطة، أو طبقوا اختبار مشتقة مناسبًا، أو احسبوا مشتقات من رتب أعلى. تعيد الحاسبة عمدًا قيم x المطلوبة فقط، ومعها معاملات المشتقة التي تجعل خطوات الحساب قابلة للمراجعة.
وهي لا تحل الجذور المركبة، ولا تفرض فترة مغلقة، ولا تضيف طرفي فترة، ولا تحسب f(x) عند كل نقطة، ولا ترسم منحنى. فهذه عمليات مستقلة تحتاج إلى مدخلات مختلفة. ولأن البحث عن الجذور عددي، تُعرض الإجابات غير النسبية كتقريبات عشرية بدلًا من الجذور الصماء أو العبارات الرمزية.
ضمن الحدود المعلنة للدرجة والمعاملات، تعمل الخوارزمية بصورة حتمية؛ فهي لا تستخدم الشبكة أو العشوائية أو حالة محفوظة أو الوقت الحالي، ولذلك تعطي المدخلات المتطابقة مخرجات متطابقة دائمًا. تفيد هذه الخاصية في مراجعة التمارين وفي مسارات البيانات التي تحتاج إلى نقاط محتملة لتغير الاتجاه بصيغة قابلة للقراءة آليًا.
حالات الاستخدام
مراجعة تمرين في التفاضل
قارنوا كثيرة الحدود المشتقة وقيم x الحرجة التي حسبتموها بنتيجة منظمة وحتمية.
تحديد مواضع تغير الاتجاه المحتملة
اعثروا على الجذور الحقيقية للمشتقة التي قد تمثل قيمًا عظمى أو صغرى أو نقاط انعطاف أفقية.
الأسئلة الشائعة
بأي ترتيب ينبغي إدخال المعاملات؟
رتبوها من أعلى قوة حتى الحد الثابت، وضعوا صفرًا في موضع كل قوة وسطية مفقودة.
هل تعيد الحاسبة نقاطًا حرجة مركبة؟
لا. تعيد الحاسبة قيم x الحقيقية فقط لكثيرة حدود ذات متغير حقيقي.
لماذا تعيد كثيرة الحدود الخطية قائمة فارغة؟
لأن مشتقتها ثابت غير صفري، فلا توجد قيمة x تجعل تلك المشتقة مساوية للصفر.
هل كل نقطة معادة قيمة عظمى أو صغرى؟
لا. قد تكون أيضًا نقطة انعطاف أفقية. صنفوها باختبار الإشارة أو باستخدام مشتقات أعلى.
هل تعطي الحاسبة قيم y للنقاط الحرجة؟
لا، تعيد إحداثيات x فقط مرتبة، مع المشتقة التي استُخدمت لإيجادها. لمعرفة ارتفاع كل نقطة، عوّض قيم x هذه في كثيرة الحدود الأصلية؛ ففي x³ − 3x + 2 عوّض −1 و1.
أدوات ذات صلة
للمطوّرين — الوصول عبر API
كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.
الـEndpoint
صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.
استدعِ الخدمة من بيئتك
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[1,0,-3,2]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[1,0,-3,2]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,-3,2]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/critical-points-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)مثال على الطلب
{
"coefficients": [
1,
0,
-3,
2
]
}مثال على الاستجابة
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.critical_points_polynomial",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.
الأسعار
السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.
الأخطاء
| HTTP | الرمز | المعنى |
|---|---|---|
401 | unauthorized | مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك. |
402 | insufficient_balance | رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة. |
404 | unknown_type | نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب. |
429 | rate_limited | تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة. |
ملاحظات تقنية
أدخلوا كثيرة الحدود في قائمة معاملات مرتبة
يزيل هذا التمثيل الالتباس المتعلق بالمتغيرات ورموز الأسس وعلامات الضرب والمسافات، ولذلك تكون المدخلات نفسها موثوقة في المتصفح وفي مسار عمل يستخدم API.
افهموا كيف تتحول جذور المشتقة إلى نقاط حرجة
لا تحتوي مصفوفة critical_points إلا على إحداثيات x، ولا تتضمن قيم y المقابلة. تُرتب القيم تصاعديًا، وتُدمج القيم المتكررة المتقاربة عدديًا، وتُقرب النتائج إلى اثني عشر رقمًا معنويًا للحصول على JSON ثابت.
استخدموا النتائج على نحو صحيح واعرفوا حدودها
تبلغ تكلفة كل طلب عبر API مقدار $0.002.
حالات التكامل
أتمتة تحليل كثيرات الحدود
أرسلوا مصفوفات المعاملات عبر API، ثم أعيدوا استخدام النقاط الحرجة المرتبة في مسار رياضي أوسع.
أسئلة تقنية
ما تكلفة الطلب عبر API؟
تكلف كل طلبية API مقدار $0.002. ويمكنكم استخدام التنفيذ المباشر في المتصفح للحساب التفاعلي.