ForHosting KIT · الرياضيات

حاسبة التكامل غير المحدد لكثيرة الحدود

كاملوا 3x³ − 4x + 7 دفعة واحدة لتحصلوا على (3/4)x⁴ − 2x² + 7x + C: يُقسم كل معامل على أسّه الجديد، وتحفظ الأصفار مواضع القوى الغائبة. مجاناً في متصفحكم.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

المعاملات: 3, 0, ‎-4, 7

تحصل على

معاملات الدالة الأصلية: 0.75, 0, ‎-2, 7, 0
الحد الثابت: C

تطبّق حاسبة التكامل غير المحدد هذه قاعدة القوة العكسية مباشرة على قائمة المعاملات. أدخل القيم بدءا من أعلى قوة وصولا إلى الحد الثابت، مع إبقاء صفر لكل قوة غير موجودة. تعرض النتيجة معاملات الدالة الأصلية بالترتيب نفسه، وتضيف صفرا موضعيا للثابت الحر، وتبيّن أن ثابت التكامل الاعتباطي هو C. وبهذا يمكنكم تكامل كثيرة الحدود كاملة من دون إدخال تعبير رمزي.

تمثيل كثيرة الحدود بالمعاملات

اكتبوا كثيرة الحدود أولا بترتيب القوى تنازليا. فمثلا تمثل القائمة [3, 0, -4, 7] التعبير 3x³ + 0x² - 4x + 7. وجود الصفر مهم لأنه يحفظ موضع القوة التربيعية الغائبة.

يرتبط المعامل الأول دائما بأعلى قوة يحددها طول القائمة، أما المعامل الأخير فهو الحد الثابت الأصلي. لذلك فإن القائمة التي تحتوي قيمة واحدة تمثل كثيرة حدود ثابتة وليست تعبيرا فارغا. استخدموا أعدادا منتهية فقط، وأبقوا كل صفر مطلوب بين الحدود غير الصفرية.

تقبل الأصفار في بداية القائمة أيضا وتظل في مواضعها. يزيل هذا العقد القائم على الموضع غموض كتابة الصيغ الجبرية وأسماء المتغيرات والإشارات والقوى المحذوفة. كما يسمح باستعمال بيانات من برنامج عددي أو جدول بيانات أو عملية سابقة على كثيرات الحدود.

تحافظ الاستجابة على ترتيب المعاملات من أعلى قوة إلى أدناها، مما يسهل تمريرها إلى حساب آخر متوافق.

تطبيق قاعدة القوة العكسية

عند تكامل كل حد a·xⁿ تزداد القوة بمقدار واحد ويقسم المعامل على القوة الجديدة، فتكون النتيجة a/(n+1)·xⁿ⁺¹. تستنتج الحاسبة القوة الأصلية لكل حد من موضع معامله، ثم تجري القسمة على القائمة كاملة. بالنسبة إلى [3, 0, -4, 7] تصبح الحدود 3/4·x⁴ و0·x³ و-2·x² و7x.

ثم تضاف في نهاية قائمة المعاملات قيمة صفر لموضع الثابت. يفيد هذا الفصل في البرمجيات، إذ تستلم المعالجة العددية مصفوفة ذات بنية ثابتة، ويمكن للعرض الرياضي إضافة + C. وإذا اشتققتم المعاملات الناتجة مع استبعاد الثابت، فستعود القائمة الأصلية، وهو اختبار بسيط لصحة الترتيب والحساب.

تفسير النتيجة واستخدامها

إذا حدّد شرط لاحق نقطة وقيمة للدالة، فاحسبوا C بصورة مستقلة واستبدلوا الصفر الأخير بتلك القيمة العددية. لا تحسب هذه القدرة التكاملات المحددة، ولا تبسّط الكسور الرمزية، ولا تحلل تعبيرا جبريا مكتوبا، ولا تحل مسألة قيمة ابتدائية. تستخدم القسمة العشرية حساب الأعداد القياسي في JavaScript، ولذلك تمثل قيمة مثل الثلث بتقريب الفاصلة العائمة.

وفي المقابل تكون النتيجة ثابتة وقابلة للتكرار، إذ لا تعتمد على الشبكة أو التخزين أو العشوائية أو ساعة النظام. وهذا يجعلها مناسبة للمواد التعليمية والتمارين الآلية ومسارات الحساب واختبارات الانحدار.

حالات الاستخدام

مراجعة تمرين في التفاضل والتكامل

قارنوا تطبيق قاعدة القوة العكسية يدويا بدالة أصلية حتمية محسوبة معاملا بعد معامل.

إعداد ورقة تمارين تعليمية

أنشئوا بيانات الإجابات لمسائل تكامل كثيرات الحدود مع حفظ القوى الغائبة في صورة أصفار صريحة.

متابعة مسار حساب عددي

حوّلوا معاملات كثيرة الحدود إلى مصفوفة مرتبة للدالة الأصلية من أجل التقييم أو تطبيق شرط لاحق.

الأسئلة الشائعة

ما ترتيب إدخال المعاملات؟

استخدموا الترتيب التنازلي، من معامل أعلى قوة حتى الحد الثابت الأصلي.

كيف تمثل القوة غير الموجودة؟

ضعوا صفرا في موضع تلك القوة. يؤدي حذف الصفر إلى إزاحة جميع المعاملات التالية.

هل يمكن تكامل كثيرة حدود ثابتة؟

نعم. يعيد المدخل ذو القيمة الواحدة [a] النتيجة [a, 0]، وهي تقابل ax + C.

ما التكامل غير المحدد لـ 3x³ − 4x + 7؟

الناتج (3/4)x⁴ − 2x² + 7x + C. أدخلوا 3 و0 و−4 و7، حيث يحل الصفر محل الحد x² الغائب، فتعيد الحاسبة هذه الحدود بالترتيب نفسه ثم صفراً أخيراً يحجز مكان C.

لماذا ينتهي الناتج بصفر؟

الصفر الأخير يحجز مكان ثابت التكامل C الذي يمكن اختياره بحرية. وإذا عرفتم نقطة تمر بها الدالة المطلوبة فاحسبوا منها C وضعوا قيمته في هذا الموضع.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[3,0,-4,7]}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      3,
      0,
      -4,
      7
    ]
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        3,
        0,
        -4,
        7
    ]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[3,0,-4,7]}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[3,0,-4,7]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/indefinite-integral-polynomial", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "coefficients": [
    3,
    0,
    -4,
    7
  ]
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.indefinite_integral_polynomial",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

تطبيق قاعدة القوة العكسية

لا يعني ذلك أن ثابت جميع الدوال الأصلية يساوي صفرا؛ فهذا الصفر عنصر موضعي عددي، بينما يعرض الحقل constant_term الرمز C للثابت الحقيقي الاعتباطي.

تفسير النتيجة واستخدامها

اقرؤوا antiderivative_coefficients من اليسار إلى اليمين بوصفها معاملات كثيرة حدود درجتها أعلى بواحد من درجة المدخل؛ والصفر الأخير موضع عددي لثابت التكامل. يذكّر الحقل constant_term بالرمز C بأن التكامل غير المحدد يمثل عائلة من الدوال، لا دالة واحدة فقط.

أسئلة تقنية

لماذا تنتهي المصفوفة الناتجة بصفر؟

الصفر الأخير موضع عددي للثابت الاعتباطي، ويعرّف الحقل constant_term ذلك الثابت رمزيا على أنه C.

هل تعرض النتيجة كسورا دقيقة؟

لا. المعاملات أعداد JSON، ولذلك تستخدم الكسور غير المنتهية تقريبات الفاصلة العائمة القياسية.

ما تكلفة طلب API؟

تكلفة كل طلب API هي $0.002. تعمل نسخة المتصفح محليا من دون إجراء الحساب عبر الشبكة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

تمثيل كثيرة الحدود بالمعاملات

تطبيق قاعدة القوة العكسية

تفسير النتيجة واستخدامها

حالات الاستخدام

مراجعة تمرين في التفاضل والتكامل

إعداد ورقة تمارين تعليمية

متابعة مسار حساب عددي

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الأخطاء

ملاحظات تقنية

تطبيق قاعدة القوة العكسية

تفسير النتيجة واستخدامها

أسئلة تقنية

شكرًا