Horner-Schema-Rechner für Polynome
Werten Sie 2x³ − 6x² + 2x − 1 an der Stelle 3 aus und erhalten Sie 5, samt allen Zwischenwerten (2, 0, 2, 5) zum Abgleich mit Ihrem handschriftlichen Horner-Verfahren. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Koeffizienten
- 2, -6, 2, -1
- X
- 3
- Wert
- 5
- Synthetische Koeffizienten
- 2, 0, 2, 5
- Grad
- 3
Geben Sie die Koeffizienten nach absteigenden Potenzen ein und wählen Sie den Punkt x. Das Ergebnis enthält den endgültigen Polynomwert und sämtliche Zwischenwerte der geschachtelten Multiplikation. Dadurch lässt sich die Rechnung leicht prüfen, erklären, wiederholen oder in einem anderen System verifizieren. Die Implementierung rechnet deterministisch mit endlichen Zahlen, benötigt kein Netzwerk und verwendet für ein konstantes Polynom ebenso wie für eine lange dichte Koeffizientenliste denselben Algorithmus.
Stellen Sie das Polynom als vollständige Liste dar
Schreiben Sie das Polynom zunächst nach absteigenden Potenzen von x. Für 2x hoch 3 minus 6x hoch 2 plus 2x minus 1 senden Sie [2, -6, 2, -1]. Die Position bestimmt die Bedeutung; setzen Sie deshalb für jede fehlende Potenz eine Null ein.
So wird x hoch 3 plus 5 als [1, 0, 0, 5] und nicht als [1, 5] dargestellt. Der erste Eintrag gehört zur höchsten Potenz, der letzte ist stets das konstante Glied. Eine Liste mit nur einem Eintrag ist zulässig und bezeichnet ein konstantes Polynom vom Grad null.
Eine feste Obergrenze hält den Aufwand vorhersehbar, obwohl der Algorithmus linear wächst und nach dem ersten Koeffizienten jeweils nur eine Multiplikation mit anschließender Addition benötigt. Dokumentierte Aliasnamen sind möglich, kanonische Namen machen Integrationen jedoch übersichtlicher. Die Listenform vermeidet Mehrdeutigkeiten bei Exponenten und Vorzeichen.
Verfolgen Sie Verschachtelung und Zwischenwerte
Übernehmen Sie den führenden Koeffizienten als ersten Akkumulator. Multiplizieren Sie ihn mit x, addieren Sie den nächsten Koeffizienten und speichern Sie das Ergebnis. Wiederholen Sie dies bis zum konstanten Glied.
Ihr letzter Eintrag ist der Polynomwert und wird zusätzlich als value ausgegeben. Die Folge ist genauso lang wie die Eingabe, sodass jede Position einem handschriftlichen Schritt entspricht. Das Verfahren hängt mit der synthetischen Division durch x minus dem gewählten Punkt zusammen: Alle Einträge außer dem letzten sind Quotientenkoeffizienten; der letzte ist der Rest und somit p(x).
Diese Fähigkeit wertet aus und zeigt den Rechenweg, führt aber keine allgemeine Polynomdivision, symbolische Faktorisierung oder Nullstellensuche aus.
Nutzen Sie das Ergebnis sicher in Unterricht und Software
Für eine schnelle Kontrolle führen Sie das Browserwerkzeug aus und vergleichen die Spur mit Ihrer handschriftlichen Horner-Tabelle. Damit können Sie sowohl das Resultat als auch genügend Zwischenschritte für eine Erklärung speichern. Die Berechnung nutzt JavaScript-Gleitkommazahlen mit doppelter Genauigkeit.
Für übliche Lern-, Wissenschafts- und Technikdaten ist das passend; sehr große Beträge oder schlecht konditionierte Polynome können Rundungsfehler verstärken. Skalieren Sie bei empfindlichen Aufgaben die Eingaben oder verwenden Sie beliebige Genauigkeit. Ohne Netzwerk, Zufall, gespeicherten Zustand oder Uhr liefert dieselbe gültige Eingabe stets dieselbe Ausgabe.
Anwendungsfälle
Algebraaufgaben kontrollieren
Vergleichen Sie die Tabelle eines Lernenden mit der Ergebnisfolge und bestätigen Sie den endgültigen Polynomwert.
Schrittweise Lernhilfen erstellen
Zeigen Sie die Zwischenwerte einzeln, um genau den fehlerhaften Rechenschritt zu bestimmen.
Häufige Fragen
In welcher Reihenfolge werden Koeffizienten eingegeben?
Verwenden Sie absteigende Potenzen vom führenden bis zum konstanten Koeffizienten und Nullen für fehlende Potenzen.
Was sind synthetische Koeffizienten?
Es sind die aufeinanderfolgenden Horner-Akkumulatoren: Jeder neue Wert ist der vorige mal x plus der nächste Koeffizient.
Warum entspricht der letzte Eintrag dem Wert?
Nach der letzten Multiplikation und Addition ist der verschachtelte Ausdruck vollständig; der Akkumulator ist p(x).
Kann ein konstantes Polynom ausgewertet werden?
Ja. Eine Liste mit einem Eintrag hat Grad null; ihr einziger Zwischenwert ist bei jedem endlichen x zugleich der Wert.
Was gebe ich ein, wenn eine Potenz von x fehlt?
Geben Sie an dieser Stelle eine Null ein, denn jede Position steht für eine Potenz. Für x³ + 5 lauten die Koeffizienten 1, 0, 0, 5 und nicht 1, 5; sonst würde der Rechner ein anderes Polynom lesen.
Findet der Rechner auch Nullstellen oder zerlegt er das Polynom?
Nein, er wertet das Polynom an einer Stelle aus und zeigt den Rechenweg. Die Zwischenwerte vor dem letzten entsprechen aber dem Quotienten der Division durch (x − Stelle), und der letzte Wert ist der Rest.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/horner-method \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"coefficients":[2,-6,2,-1],"x":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/horner-method", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"coefficients": [
2,
-6,
2,
-1
],
"x": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/horner-method",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"coefficients": [
2,
-6,
2,
-1
],
"x": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/horner-method", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"coefficients":[2,-6,2,-1],"x":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[2,-6,2,-1],"x":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/horner-method", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"coefficients": [
2,
-6,
2,
-1
],
"x": 3
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.horner_method",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Der Horner-Schema-Rechner wertet ein Polynom anhand seiner Koeffizienten aus, ohne jede Potenz einzeln zu berechnen.
Stellen Sie das Polynom als vollständige Liste dar
Sämtliche Koeffizienten und der Auswertungspunkt müssen endliche JSON-Zahlen sein; leere Texte, numerisch aussehende Zeichenketten, Unendlich und nichtnumerische Werte werden nicht automatisch umgewandelt.
Verfolgen Sie Verschachtelung und Zwischenwerte
Das Horner-Schema formt das Polynom so um, dass seine Potenzen nicht getrennt berechnet werden. Für [2, -6, 2, -1] bei x = 3 beginnt die Folge mit 2, setzt sich mit 2 mal 3 minus 6 fort und verwendet jedes neue Ergebnis im nächsten Schritt. Die Antwort bezeichnet die vollständige Folge als synthetic_coefficients.
Nutzen Sie das Ergebnis sicher in Unterricht und Software
Für Automatisierung senden Sie dieselbe Liste und denselben Punkt über die API; jedes erfolgreiche Element kostet $0.002. Die Antwort enthält value, synthetic_coefficients, degree, x und eine Methodenkennung. Dies eignet sich für Lernsysteme mit schrittweiser Anzeige, Prüfsoftware zur Unterscheidung von Verfahrens- und Ergebnisfehlern sowie numerische Abläufe mit einem kleinen stabilen JSON-Vertrag. Ein Überlauf erzeugt eine klare Fehlermeldung statt nicht darstellbarem JSON.
Integrationsbeispiele
Koeffizienten in Software auswerten
Nutzen Sie eine deterministische JSON-Antwort ohne zusätzliche symbolische Algebrabibliothek.
Technische Fragen
Was kostet eine Berechnung über die API?
Jedes erfolgreiche API-Element kostet $0.002. Im Browser lässt sich der Rechner außerdem kostenlos nutzen.