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二重積分の中点則計算ツール

Q: 格子を細かくすれば厳密な積分値になりますか？

いいえ。 滑らかな関数では細分化により近似が改善することが多いものの、本ツールは収束を証明せず、形式的な誤差限界も示しません。

長方形の領域を格子に分け、各セルの中心で関数を評価して二重積分を近似します。x^2 + y^2 を x は0から2、y は0から1、2×2の格子で計算すると3.125です。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

被積分関数: x^2 + y^2
x の最小値: 0
x の最大値: 2
y の最小値: 0
y の最大値: 1
x の分割数: 2

結果

値の合計: 6.25
近似値: 3.125

この二重積分の中点則計算ツールは、x軸とy軸をそれぞれ等間隔に分割し、長方形領域上のf(x,y)の積分を近似します。各小長方形の中心で関数を評価し、その値の総和に1セルの面積を掛けて、計算過程とともに結果を返します。数式、4つの積分限界、格子の分割数を入力すると、近似値、刻み幅、標本点数、中点座標、関数値、および各小長方形の寄与を確認できます。

長方形と中点格子を設定します

合成中点則による近似では、まず長方形[a,b]×[c,d]を定めます。aとbをxの下限と上限、cとdをyの下限と上限として入力し、各軸を何個の等しい区間に分けるか指定してください。本ツールは刻み幅dx=(b-a)/mとdy=(d-c)/nを求め、その積を各小長方形の面積として使用します。

列i、行jの標本点は、対応する辺のちょうど中間に置かれるため、頂点や境界上の値は使いません。被積分関数にはx、y、通常の四則演算、べき乗、定数piとeのほか、sin、cos、exp、log、sqrt、abs、min、maxなどの対応関数を記述できます。乗算は省略せず、2xではなく2*xと入力してください。

上下限は小さい値から大きい値へ並べ、分割数には正の整数を指定する必要があります。これにより、計算を始める前に領域、格子、向きが明確になります。標本点一覧の列番号と行番号は1から始まるため、手書きの格子や計算表とも容易に照合できます。

近似値が作られる仕組みを確認します

本ツールは格子内の各セルについて、その中心でfを評価します。すべての中点値を加算し、その合計にdxとdyを掛けたものが表示される近似値です。同じ計算を別の見方で表すと、標本点一覧の各行には、関数値と共通のセル面積を掛けた寄与が示され、その寄与をすべて足すと最終結果になります。

中点は小さなセル内の変化を均衡させるため、隅を選ぶ方法より良い結果になることが少なくありません。ただし、得られる値はあくまで数値近似です。精度は関数の形状と格子の細かさに左右されます。

滑らかな関数では分割数を増やすと一般に改善しますが、急勾配、振動、特異点、不連続点がある場合は慎重な検討が必要です。数式が未定義になる中点や無限値を生じる中点があれば、計算は受け付けられません。本ツールは誤差限界を保証せず、厳密な原始関数との比較も行いません。

収束の傾向を調べるには、同じ長方形に対して格子を段階的に細かくし、近似値を比較してください。値の一致は有用な判断材料ですが、精度の形式的な証明ではありません。

結果を読み取り、検算して再利用します

出力では、入力値、格子の形状、関数値の総和、最終近似値、個々の標本点が分けて表示されます。最初に、返された長方形と各軸の分割数が意図した問題と一致するか確認してください。次にdx、dy、セル面積を確認すると、限界値の誤入力や分割数の取り違えを見つけやすくなります。

標本点数は2つの分割数の積と一致する必要があります。各標本点には中点座標、評価された関数値、重み付きの寄与が含まれるため、演習問題、教材、数値計算法の説明、ソフトウェアテストで計算根拠を追跡できます。精度オプションが変更するのは返却される小数の表示だけであり、評価と加算では内部的に利用可能な浮動小数点精度を保ちます。

粗い格子は全項を見渡せるので手計算の検算に適しています。細かい格子は収束の調査に向きますが、標本点一覧は長くなります。ネットワーク、乱数、保存状態、時刻は計算に関与しません。

活用例

多変数微積分の演習を検算する

手計算の中点表を、出力された中心座標、関数値、寄与、合計と照合できます。

格子細分化の効果を調べる

同じ長方形積分の分割数を増やし、数値近似がどのように変化するか観察できます。

よくある質問

このツールは何を計算しますか？

長方形のm×n格子に合成中点則を適用し、すべての中心評価値を重み付けして合計した結果を返します。

どのような数式に対応していますか？

x、y、数値定数、明示的な四則演算、べき乗、pi、eに加え、三角関数、指数関数、対数、平方根、絶対値、最小値、最大値などの対応関数を使用できます。

格子を細かくすれば厳密な積分値になりますか？

いいえ。滑らかな関数では細分化により近似が改善することが多いものの、本ツールは収束を証明せず、形式的な誤差限界も示しません。

中点で数式が拒否されるのはなぜですか？

ゼロ除算、無効な対数、実数の定義域外の平方根などにより、その位置で有限でない値が生じたためです。

x^2 + y^2 の近似値が3.125になるのはなぜですか？

x は0から2、y は0から1、2×2の格子では各セルが1×0.5で、面積は0.5です。4つの中心での値の合計6.25に0.5を掛けると3.125になります。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/double-integral-midpoint

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/double-integral-midpoint \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"integrand":"x^2 + y^2","x_min":0,"x_max":2,"y_min":0,"y_max":1,"x_subintervals":2,"y_subintervals":2}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/double-integral-midpoint", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "integrand": "x^2 + y^2",
    "x_min": 0,
    "x_max": 2,
    "y_min": 0,
    "y_max": 1,
    "x_subintervals": 2,
    "y_subintervals": 2
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/double-integral-midpoint",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "integrand": "x^2 + y^2",
    "x_min": 0,
    "x_max": 2,
    "y_min": 0,
    "y_max": 1,
    "x_subintervals": 2,
    "y_subintervals": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/double-integral-midpoint", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"integrand":"x^2 + y^2","x_min":0,"x_max":2,"y_min":0,"y_max":1,"x_subintervals":2,"y_subintervals":2}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"integrand":"x^2 + y^2","x_min":0,"x_max":2,"y_min":0,"y_max":1,"x_subintervals":2,"y_subintervals":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/double-integral-midpoint", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "integrand": "x^2 + y^2",
  "x_min": 0,
  "x_max": 2,
  "y_min": 0,
  "y_max": 1,
  "x_subintervals": 2,
  "y_subintervals": 2
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.double_integral_midpoint",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

`max_points`	10000
`max_expression_chars`	500

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

結果を読み取り、検算して再利用します

自動処理は1リクエストあたり$0.002で、同一入力には常に同じ決定的な構造を返します。

連携の活用例

再現可能なテストデータを作る

教育ソフト、演習教材、数値計算法の回帰テスト向けに、検証可能な中点和を生成できます。

技術的な質問

自動化にはいくらかかりますか。

APIの各リクエストは$0.002です。ブラウザー版では、APIを呼び出さずに同じ決定的な計算を実行できます。

KITの完全なドキュメントを見る →

二重積分の中点則計算ツール

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計算例

長方形と中点格子を設定します

近似値が作られる仕組みを確認します

結果を読み取り、検算して再利用します

活用例

多変数微積分の演習を検算する

格子細分化の効果を調べる

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

制限

エラー

技術的な注記

結果を読み取り、検算して再利用します

連携の活用例

再現可能なテストデータを作る

技術的な質問

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