Calculadora de integral dupla pela regra do ponto médio

Esta calculadora de integral dupla pela regra do ponto médio aproxima a integral de f(x,y) sobre uma região retangular dividindo os dois eixos em subintervalos iguais. Ela avalia a função no centro de cada célula, multiplica a soma desses valores pela área de uma célula e apresenta o cálculo completo. Informe uma expressão, quatro limites e as dimensões da grade para obter a aproximação, os espaçamentos, a quantidade de amostras, as coordenadas centrais, os valores da função e a contribuição de cada sub-retângulo.

Defina o retângulo e a grade de pontos médios

Uma aproximação composta por pontos médios começa com um retângulo [a,b] por [c,d]. Informe essas extremidades como limites inferior e superior de x e y e escolha quantos subintervalos iguais deseja usar em cada eixo. A calculadora determina as larguras dx=(b-a)/m e dy=(d-c)/n.

O produto delas é a área de cada sub-retângulo. Na coluna i e na linha j, a coordenada da amostra fica exatamente no meio das bordas correspondentes; portanto, nenhum valor de canto ou de fronteira é utilizado. O integrando pode conter x, y, operações aritméticas comuns, potências, as constantes pi e e, além de funções compatíveis como sin, cos, exp, log, sqrt, abs, min e max.

Escreva a multiplicação explicitamente: use 2*x, e não 2x. Os limites devem crescer do mínimo para o máximo, e cada número de subdivisões deve ser um inteiro positivo. Assim, a região, a grade e a orientação ficam bem definidas antes do cálculo.

A lista de amostras usa índices de coluna e linha iniciados em 1, facilitando a conferência com uma tabela ou um desenho feito à mão.

Entenda como a aproximação é calculada

Em cada célula da grade, a calculadora avalia f no centro. Depois, soma todos os valores centrais e multiplica o total por dx vezes dy. De forma equivalente, cada linha da lista de amostras mostra uma contribuição igual ao valor da função multiplicado pela área comum da célula; a soma dessas contribuições gera a aproximação exibida.

A amostragem central costuma ser melhor do que a escolha de um canto porque o ponto médio equilibra a variação dentro de uma célula pequena, mas o resultado ainda é uma aproximação numérica. A precisão depende do comportamento da função e da resolução da grade. Funções suaves geralmente melhoram com mais subdivisões, enquanto gradientes acentuados, oscilações, singularidades ou descontinuidades exigem cuidado adicional.

A calculadora rejeita qualquer ponto médio no qual a expressão fique indefinida ou gere um valor infinito. Ela não fornece limite de erro nem compara o resultado com uma primitiva exata. Para avaliar a convergência, execute o mesmo retângulo com grades progressivamente mais finas e compare as aproximações.

Resultados próximos são uma evidência útil, mas não constituem uma prova formal de precisão.

Leia, confira e reutilize o resultado

O resultado separa as entradas, a geometria da grade, a soma acumulada dos valores, a aproximação final e as amostras individuais. Primeiro, confira se o retângulo e as quantidades de subdivisões correspondem ao problema pretendido. Em seguida, verifique dx, dy e a área da célula; um limite incorreto ou uma contagem trocada aparece claramente nessa parte.

A quantidade de amostras deve ser igual ao produto dos dois números de subdivisões. Cada amostra informa as coordenadas do ponto médio, o valor avaliado da função e a contribuição ponderada, criando um histórico verificável para exercícios, listas, demonstrações de métodos numéricos e testes de software. A opção de precisão altera somente a apresentação dos decimais devolvidos; as avaliações e a soma preservam internamente a precisão de ponto flutuante disponível.

Uma grade grossa ajuda a conferir contas manuais porque todos os termos continuam visíveis. Uma grade fina é mais indicada para estudar convergência, embora gere uma lista maior. O cálculo não utiliza rede, aleatoriedade, estado armazenado nem relógio.