Doppelintegral-Rechner mit Mittelpunktregel

Dieser Rechner für Doppelintegrale mit der Mittelpunktregel nähert das Integral von f(x,y) über einem rechteckigen Gebiet an, indem er beide Koordinatenrichtungen in gleich breite Teilintervalle zerlegt. Er wertet die Funktion im Mittelpunkt jeder Zelle aus, multipliziert die Summe dieser Werte mit der Fläche einer Zelle und gibt die vollständige Rechnung zurück. Geben Sie einen Ausdruck, vier Grenzen und die Gittermaße ein. Sie erhalten die Näherung samt Schrittweiten, Anzahl der Stützstellen, Mittelpunktkoordinaten, Funktionswerten und Beiträgen aller Teilrechtecke.

Legen Sie Rechteck und Mittelpunktgitter fest

Eine zusammengesetzte Mittelpunktnäherung beginnt mit einem Rechteck [a,b] mal [c,d]. Tragen Sie diese Endpunkte als untere und obere Grenzen für x und y ein und wählen Sie anschließend die Anzahl gleich breiter Teilintervalle auf jeder Achse. Der Rechner bestimmt die Breiten dx=(b-a)/m und dy=(d-c)/n.

Ihr Produkt ist die Fläche jedes Teilrechtecks. In Spalte i und Zeile j liegt die Stützstelle genau in der Mitte zwischen den jeweiligen Rändern; Eck- oder Randwerte gehen somit nicht ein. Der Integrand darf x, y, übliche Rechenoperationen, Potenzen, die Konstanten pi und e sowie unterstützte Funktionen wie sin, cos, exp, log, sqrt, abs, min und max enthalten.

Schreiben Sie Multiplikationen ausdrücklich als 2*x und nicht als 2x. Die Grenzen müssen vom kleineren zum größeren Wert verlaufen, und jede Unterteilungszahl muss eine positive ganze Zahl sein. Dadurch stehen Gebiet, Gitter und Orientierung vor Beginn der Rechnung eindeutig fest.

In der Stützstellenliste beginnen Spalten- und Zeilenindizes bei 1, sodass Sie jeden Wert leicht einem selbst gezeichneten Gitter oder einer Tabelle zuordnen können.

So entsteht der Näherungswert

Für jede Gitterzelle wertet der Rechner f in deren Mittelpunkt aus. Er addiert sämtliche Mittelpunktwerte und multipliziert die Summe mit dx mal dy. Gleichbedeutend dazu enthält jede Zeile der Stützstellenliste einen Beitrag aus Funktionswert mal gemeinsamer Zellenfläche; die Summe aller Beiträge ergibt die angezeigte Näherung.

Eine Auswertung im Zentrum liefert häufig bessere Ergebnisse als die Wahl einer Ecke, weil der Mittelpunkt die Änderung über eine kleine Zelle ausgleicht. Dennoch bleibt das Ergebnis eine numerische Näherung. Die Genauigkeit hängt vom Verlauf der Funktion und von der Gitterauflösung ab.

Bei glatten Funktionen verbessert sie sich gewöhnlich mit mehr Unterteilungen, während starke Gradienten, Schwingungen, Singularitäten oder Unstetigkeiten besondere Vorsicht verlangen. Der Rechner weist jeden Mittelpunkt zurück, an dem der Ausdruck nicht definiert ist oder einen unendlichen Wert erzeugt. Er nennt weder eine Fehlerschranke noch vergleicht er mit einer exakten Stammfunktion.

Zur Untersuchung der Konvergenz berechnen Sie dasselbe Rechteck mit zunehmend feineren Gittern und vergleichen die Näherungen. Übereinstimmung ist ein hilfreiches Indiz, aber kein formaler Genauigkeitsbeweis.

Lesen, prüfen und verwenden Sie das Ergebnis

Die Ausgabe trennt Eingaben, Gittergeometrie, aufsummierte Funktionswerte, endgültige Näherung und einzelne Stützstellen. Prüfen Sie zuerst, ob das zurückgegebene Rechteck und die Unterteilungszahlen Ihrer Aufgabe entsprechen. Kontrollieren Sie danach dx, dy und die Zellenfläche; eine falsche Grenze oder vertauschte Anzahl fällt dort schnell auf.

Die Zahl der Stützstellen muss dem Produkt beider Unterteilungszahlen entsprechen. Jede Stützstelle zeigt ihre Mittelpunktkoordinaten, den berechneten Funktionswert und den gewichteten Beitrag. Damit erhalten Sie einen nachvollziehbaren Rechenweg für Übungen, Arbeitsblätter, Darstellungen numerischer Verfahren und Softwaretests.

Die Präzisionsoption ändert nur die Darstellung der zurückgegebenen Dezimalzahlen; Auswertung und Summierung behalten intern die verfügbare Gleitkommagenauigkeit. Ein grobes Gitter eignet sich zur Handkontrolle, weil alle Terme übersichtlich bleiben. Ein feineres Gitter unterstützt Konvergenzuntersuchungen, erzeugt aber eine längere Liste.

Netzwerk, Zufall, gespeicherter Zustand oder Uhrzeit wirken an der Berechnung nicht mit.