حاسبة التكامل المزدوج بقاعدة نقطة المنتصف

تقرّب حاسبة التكامل المزدوج بقاعدة نقطة المنتصف تكامل f(x,y) فوق منطقة مستطيلة عبر تقسيم اتجاهي الإحداثيين إلى فترات جزئية متساوية. تقيّم الحاسبة الدالة في مركز كل خلية، ثم تضرب مجموع القيم في مساحة خلية واحدة، وتعرض تفاصيل الحساب كاملة. أدخلوا تعبيراً وأربعة حدود وأبعاد الشبكة لتحصلوا على القيمة التقريبية، وخطوتي التقسيم، وعدد العينات، وإحداثيات نقاط المنتصف، وقيم الدالة، ومساهمة كل مستطيل جزئي.

حدّدوا المستطيل وشبكة نقاط المنتصف

يبدأ التقريب المركب بنقاط المنتصف من مستطيل [a,b] في [c,d]. أدخلوا الطرفين a وb بوصفهما الحدين الأدنى والأعلى لـx، والطرفين c وd بوصفهما الحدين الأدنى والأعلى لـy، ثم اختاروا عدد الفترات الجزئية المتساوية على كل محور. تحسب الأداة العرضين dx=(b-a)/m وdy=(d-c)/n، ويكون حاصل ضربهما مساحة كل مستطيل جزئي.

تقع عينة العمود i والصف j في منتصف الحواف المقابلة تماماً، ولذلك لا تدخل أي قيمة عند زاوية أو حد في الحساب. يمكن أن يتضمن التعبير x وy والعمليات الحسابية المعتادة والأسس والثابتين pi وe، إلى جانب دوال مدعومة مثل sin وcos وexp وlog وsqrt وabs وmin وmax. يجب كتابة الضرب صراحةً؛ اكتبوا 2*x بدلاً من 2x.

كما يجب أن تنتقل الحدود من القيمة الدنيا إلى العليا، وأن يكون كل عدد تقسيمات عدداً صحيحاً موجباً. تضمن هذه الشروط وضوح المنطقة والشبكة والاتجاه قبل بدء الحساب. تبدأ فهارس الصفوف والأعمدة في قائمة العينات من 1، مما يسهّل مطابقة كل قيمة مع شبكة مرسومة يدوياً أو جدول دراسي.

افهموا كيفية تكوين القيمة التقريبية

تقيّم الحاسبة f في مركز كل خلية من خلايا الشبكة، ثم تجمع قيم نقاط المنتصف كلها وتضرب المجموع في dx مضروباً في dy. ويمكن قراءة العملية بطريقة مكافئة من قائمة العينات: يحتوي كل صف على مساهمة تساوي قيمة الدالة مضروبة في مساحة الخلية المشتركة، ويعطي جمع هذه المساهمات القيمة التقريبية المعروضة. غالباً ما يكون أخذ العينة في المركز أفضل من اختيار زاوية، لأن نقطة المنتصف توازن التغير عبر الخلية الصغيرة، إلا أن الناتج يظل تقريباً عددياً.

تعتمد الدقة على شكل الدالة ودقة الشبكة. تتحسن النتائج عادةً للدوال الملساء عند زيادة التقسيمات، بينما تستلزم التدرجات الحادة والتذبذبات والنقاط الشاذة والانقطاعات عناية أكبر. ترفض الحاسبة أي نقطة منتصف يكون التعبير عندها غير معرّف أو ينتج قيمة غير منتهية.

وهي لا تقدم حداً للخطأ ولا تقارن الناتج بدالة أصلية دقيقة. لدراسة التقارب، أعيدوا حساب المستطيل نفسه بشبكات أدق تدريجياً وقارنوا القيم التقريبية. يعد تقارب النتائج دليلاً عملياً مفيداً، لكنه لا يشكل برهاناً رسمياً على الدقة.

اقرؤوا النتيجة وتحققوا منها وأعيدوا استخدامها

تفصل النتيجة بين المدخلات وهندسة الشبكة ومجموع قيم الدالة والقيمة التقريبية النهائية والعينات المفردة. تحققوا أولاً من أن المستطيل وعددي التقسيمات يطابقان المسألة المقصودة. ثم راجعوا dx وdy ومساحة الخلية؛ فسيظهر هناك سريعاً أي حد خاطئ أو تبادل بين عددي التقسيمات.

يجب أن يساوي عدد العينات حاصل ضرب عددي التقسيمات. تعرض كل عينة إحداثيات نقطة المنتصف وقيمة الدالة المحسوبة والمساهمة الموزونة، وبذلك توفر مساراً واضحاً للمراجعة في التمارين وأوراق العمل وشروح الطرق العددية واختبارات البرمجيات. لا يغير خيار الدقة سوى طريقة عرض الكسور العشرية في الناتج؛ أما التقييم والجمع فيحتفظان داخلياً بدقة الفاصلة العائمة المتاحة.

تناسب الشبكة الخشنة مراجعة الحساب اليدوي لأن جميع الحدود تظل ظاهرة، بينما تفيد الشبكة الأدق في دراسة التقارب وإن كانت تنتج قائمة أطول. لا تشارك الشبكة أو العشوائية أو الحالة المحفوظة أو الساعة في الحساب.