Integrale doppio con la regola del punto medio
Approssimi un integrale doppio su un rettangolo valutando il centro di ogni cella: x^2 + y^2 con x da 0 a 2 e y da 0 a 1, su una griglia 2 per 2, dà 3,125. Ogni cella viene mostrata con il suo contributo. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Integrando
- x^2 + y^2
- x minimo
- 0
- x massimo
- 2
- y minimo
- 0
- y massimo
- 1
- Sottointervalli in x
- 2
- Somma dei valori
- 6,25
- Approssimazione
- 3,125
Questo calcolatore di integrali doppi con la regola del punto medio approssima l’integrale di f(x,y) su una regione rettangolare dividendo entrambi gli assi in sottointervalli uguali. Valuta la funzione al centro di ogni cella, moltiplica la somma dei valori per l’area di una cella e restituisce il calcolo completo. Inserisca un’espressione, quattro estremi e le dimensioni della griglia per ottenere l’approssimazione, i passi, il numero di campioni, le coordinate dei punti medi, i valori della funzione e il contributo di ogni sottorettangolo.
Imposti il rettangolo e la griglia dei punti medi
Un’approssimazione composita con i punti medi parte da un rettangolo [a,b] per [c,d]. Inserisca questi estremi come limiti inferiore e superiore di x e y, quindi scelga quanti sottointervalli uguali utilizzare su ciascun asse. Il calcolatore determina le ampiezze dx=(b-a)/m e dy=(d-c)/n.
Il loro prodotto è l’area di ogni sottorettangolo. Nella colonna i e nella riga j, la coordinata di campionamento si trova esattamente a metà tra i bordi corrispondenti; non viene quindi usato alcun valore su un vertice o sul confine. L’integranda può contenere x, y, operazioni aritmetiche comuni, potenze, le costanti pi ed e e funzioni supportate come sin, cos, exp, log, sqrt, abs, min e max.
La moltiplicazione deve essere esplicita: scriva 2*x anziché 2x. I limiti devono procedere dal minimo al massimo e ogni numero di suddivisioni deve essere un intero positivo. Queste condizioni definiscono senza ambiguità regione, griglia e orientamento prima del calcolo.
L’elenco dei campioni usa indici di colonna e riga a partire da 1, così Lei può confrontare facilmente ogni valore con una tabella o un disegno manuale.
Comprenda come si forma l’approssimazione
Per ogni cella della griglia, il calcolatore valuta f nel centro. Somma tutti i valori centrali e moltiplica il totale per dx per dy. In modo equivalente, ogni riga dell’elenco dei campioni contiene un contributo pari al valore della funzione moltiplicato per l’area comune della cella; sommando questi contributi si ottiene l’approssimazione visualizzata.
Il campionamento centrale spesso funziona meglio della scelta di un vertice perché il punto medio bilancia la variazione su una piccola cella, ma il risultato rimane un’approssimazione numerica. L’accuratezza dipende dalla forma della funzione e dalla risoluzione della griglia. Le funzioni regolari tendono a migliorare aumentando le suddivisioni, mentre gradienti ripidi, oscillazioni, singolarità o discontinuità richiedono maggiore cautela.
Il calcolatore rifiuta qualsiasi punto medio in cui l’espressione non sia definita o produca un valore infinito. Non dichiara un limite d’errore e non confronta il risultato con una primitiva esatta. Per valutare la convergenza, esegua lo stesso rettangolo con griglie via via più fitte e confronti le approssimazioni.
La loro concordanza è un’indicazione utile, ma non costituisce una prova formale dell’accuratezza.
Legga, verifichi e riutilizzi il risultato
Il risultato separa i dati inseriti, la geometria della griglia, la somma accumulata dei valori, l’approssimazione finale e i singoli campioni. Verifichi innanzitutto che il rettangolo e il numero di suddivisioni corrispondano al problema previsto. Controlli poi dx, dy e l’area della cella: un limite errato o due conteggi scambiati emergono subito in questa sezione.
Il numero di campioni deve essere uguale al prodotto dei due conteggi di suddivisione. Ogni campione riporta le coordinate del punto medio, il valore calcolato della funzione e il contributo ponderato, offrendo una traccia verificabile per esercizi, schede didattiche, dimostrazioni di metodi numerici e test software. L’opzione di precisione modifica soltanto la presentazione dei decimali restituiti; valutazioni e accumulo conservano internamente la precisione in virgola mobile disponibile.
Una griglia grossolana agevola il controllo manuale perché tutti i termini restano visibili. Una griglia più fitta è utile per studiare la convergenza, ma genera un elenco più lungo. Il calcolo non utilizza rete, casualità, stato memorizzato né orologio.
Casi d'uso
Verificare un esercizio di calcolo multivariato
Confronti una tabella manuale con i punti medi, i valori, i contributi e il totale restituiti.
Esaminare il raffinamento della griglia
Ripeta un integrale rettangolare con più suddivisioni per osservare come cambia l’approssimazione numerica.
Domande frequenti
Che cosa calcola questo strumento?
Applica la regola composita del punto medio su una griglia rettangolare m per n e restituisce la somma ponderata di tutte le valutazioni centrali.
Quali espressioni sono supportate?
Può usare x, y, costanti numeriche, aritmetica esplicita, potenze, pi, e e funzioni supportate, comprese quelle trigonometriche, esponenziali e logaritmiche, radice quadrata, valore assoluto, minimo e massimo.
Una griglia più fitta garantisce l’integrale esatto?
No. Il raffinamento spesso migliora l’approssimazione di una funzione regolare, ma questo calcolatore non dimostra la convergenza né fornisce un limite formale dell’errore.
Perché l’espressione è stata rifiutata in un punto medio?
In quel punto ha prodotto un valore non finito, per esempio a causa di una divisione per zero, di un logaritmo non valido o di una radice quadrata fuori dal dominio reale.
Come si ottiene 3,125 per x^2 + y^2 con una griglia 2 per 2?
Con x da 0 a 2 e y da 0 a 1, ogni cella misura 1 per 0,5, quindi ha area 0,5. I quattro valori nei centri sommano 6,25 e 6,25 per 0,5 dà l’approssimazione 3,125.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
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-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"integrand":"x^2 + y^2","x_min":0,"x_max":2,"y_min":0,"y_max":1,"x_subintervals":2,"y_subintervals":2}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/double-integral-midpoint", {
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body: JSON.stringify({
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/double-integral-midpoint", false, stream_context_create([
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/double-integral-midpoint", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"integrand": "x^2 + y^2",
"x_min": 0,
"x_max": 2,
"y_min": 0,
"y_max": 1,
"x_subintervals": 2,
"y_subintervals": 2
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.double_integral_midpoint",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_points | 10000 |
max_expression_chars | 500 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Legga, verifichi e riutilizzi il risultato
Le chiamate automatizzate costano $0.002 per richiesta e restituiscono la stessa struttura deterministica per dati identici.
Casi di integrazione
Creare casi di test deterministici
Generi una somma verificabile per software didattico, schede di esercizi o test di regressione dei metodi numerici.
Domande tecniche
Quanto costa automatizzare il calcolo?
Ogni richiesta API costa $0.002. La versione nel browser può eseguire lo stesso calcolo deterministico senza una chiamata API.