Intégrale double par la méthode du point milieu

Ce calculateur d’intégrale double par la méthode du point milieu approche l’intégrale de f(x,y) sur une région rectangulaire en divisant les deux axes en sous-intervalles égaux. Il évalue la fonction au centre de chaque cellule, multiplie la somme de ces valeurs par l’aire d’une cellule et restitue le calcul complet. Saisissez une expression, quatre bornes et les dimensions de la grille afin d’obtenir l’approximation, les pas, le nombre d’échantillons, les coordonnées des milieux, les valeurs de la fonction et la contribution de chaque sous-rectangle.

Définissez le rectangle et la grille de milieux

Une approximation composite par points milieux part d’un rectangle [a,b] par [c,d]. Saisissez ces extrémités comme bornes inférieure et supérieure de x et de y, puis choisissez le nombre de sous-intervalles égaux sur chaque axe. Le calculateur détermine les largeurs dx=(b-a)/m et dy=(d-c)/n.

Leur produit donne l’aire de chaque sous-rectangle. Dans la colonne i et la ligne j, le point d’échantillonnage se trouve exactement à mi-chemin des bords correspondants : aucune valeur de coin ou de frontière n’est donc utilisée. L’intégrande peut contenir x, y, les opérations arithmétiques usuelles, des puissances, les constantes pi et e, ainsi que des fonctions reconnues comme sin, cos, exp, log, sqrt, abs, min et max.

La multiplication doit être explicite : écrivez 2*x et non 2x. Les bornes doivent aller du minimum au maximum et chaque nombre de subdivisions doit être un entier positif. La région, la grille et leur orientation sont ainsi définies sans ambiguïté avant tout calcul.

La liste emploie des indices de ligne et de colonne commençant à 1 pour faciliter le rapprochement avec un tableau ou un schéma manuel.

Comprenez la formation de l’approximation

Pour chaque cellule de la grille, le calculateur évalue f en son centre. Il additionne toutes les valeurs obtenues, puis multiplie leur somme par dx fois dy. De manière équivalente, chaque ligne de la liste des échantillons indique une contribution égale à la valeur de la fonction multipliée par l’aire commune des cellules ; la somme de ces contributions produit l’approximation affichée.

Un échantillonnage central est souvent préférable au choix d’un coin, car le milieu équilibre la variation sur une petite cellule, mais le résultat reste une approximation numérique. La précision dépend de la forme de la fonction et de la finesse de la grille. Les fonctions régulières s’améliorent généralement avec davantage de subdivisions, tandis que les fortes pentes, oscillations, singularités ou discontinuités demandent plus de prudence.

Le calculateur refuse tout milieu où l’expression est indéfinie ou produit une valeur infinie. Il ne fournit ni borne d’erreur ni comparaison avec une primitive exacte. Pour étudier la convergence, relancez le même rectangle avec des grilles progressivement plus fines et comparez les résultats.

Leur accord constitue un indice utile, mais pas une preuve formelle de précision.

Lisez, vérifiez et réutilisez le résultat

Le résultat distingue les données saisies, la géométrie de la grille, la somme accumulée des valeurs, l’approximation finale et les échantillons individuels. Vérifiez d’abord que le rectangle et les nombres de subdivisions correspondent bien au problème prévu. Contrôlez ensuite dx, dy et l’aire d’une cellule : une borne erronée ou deux nombres intervertis y apparaissent immédiatement.

Le nombre d’échantillons doit être égal au produit des deux nombres de subdivisions. Chaque échantillon présente les coordonnées de son milieu, la valeur de la fonction et sa contribution pondérée, ce qui forme une piste d’audit pour les exercices, feuilles de calcul, démonstrations de méthodes numériques et tests logiciels. L’option de précision ne modifie que l’affichage des décimales renvoyées ; les évaluations et l’accumulation conservent en interne la précision disponible en virgule flottante.

Une grille grossière facilite la vérification manuelle, car tous les termes restent visibles. Une grille fine convient mieux à l’étude de la convergence, mais allonge la liste. Aucun réseau, hasard, état conservé ni horloge n’intervient.