Calculadora de integral doble por regla del punto medio

Esta calculadora de integrales dobles mediante la regla del punto medio aproxima la integral de f(x,y) sobre una región rectangular dividiendo ambos ejes en subintervalos iguales. Evalúa la función en el centro de cada celda, multiplica la suma de esos valores por el área de una celda y devuelve el cálculo completo. Introduzca una expresión, cuatro límites y las dimensiones de la malla para obtener la aproximación, el espaciado, el número de muestras, las coordenadas centrales, los valores de la función y la contribución de cada subrectángulo.

Defina el rectángulo y la malla de puntos medios

Una aproximación compuesta por puntos medios comienza con un rectángulo [a,b] por [c,d]. Introduzca esos extremos como límites inferior y superior de x e y, y elija después cuántos subintervalos iguales desea en cada eje. La calculadora obtiene las anchuras dx=(b-a)/m y dy=(d-c)/n.

Su producto es el área de cada subrectángulo. En la columna i y la fila j, la coordenada de muestra queda exactamente a mitad de camino entre los bordes correspondientes; por tanto, no se usa ningún valor de esquina ni de frontera. El integrando admite x, y, operaciones aritméticas habituales, potencias, las constantes pi y e, y funciones compatibles como sin, cos, exp, log, sqrt, abs, min y max.

La multiplicación debe escribirse de forma explícita: use 2*x y no 2x. Los límites deben avanzar del mínimo al máximo y cada número de subdivisiones debe ser un entero positivo. Así, la región, la malla y su orientación quedan inequívocamente definidas antes de calcular.

La lista usa índices de fila y columna desde 1 para facilitar la comparación con una tabla o un dibujo manual.

Comprenda cómo se obtiene la aproximación

Para cada celda de la malla, la calculadora evalúa f en su centro. Suma todos los valores centrales y multiplica el resultado por dx por dy. De forma equivalente, cada fila de la lista de muestras incluye una contribución igual al valor de la función multiplicado por el área común de la celda; la suma de esas contribuciones produce la aproximación mostrada.

Muestrear en el centro suele ofrecer mejores resultados que elegir una esquina, porque el punto medio compensa la variación dentro de una celda pequeña, pero el resultado continúa siendo una aproximación numérica. La precisión depende de la forma de la función y de la resolución de la malla. Las funciones suaves suelen mejorar al aumentar las subdivisiones, mientras que los gradientes pronunciados, las oscilaciones, las singularidades o las discontinuidades requieren más cautela.

La calculadora rechaza todo punto medio donde la expresión no esté definida o genere un valor infinito. No afirma un límite de error ni compara con una primitiva exacta. Para estudiar la convergencia, ejecute el mismo rectángulo con mallas cada vez más finas y compare los resultados; la concordancia es un indicio útil, no una prueba formal.

Lea, verifique y reutilice el resultado

El resultado separa los datos de entrada, la geometría de la malla, la suma acumulada de valores, la aproximación final y cada muestra individual. Compruebe primero que el rectángulo y las cantidades de subdivisiones coincidan con el problema previsto. Revise después dx, dy y el área de celda; un límite equivocado o un recuento intercambiado se detecta allí con facilidad.

El número de muestras debe ser igual al producto de ambas cantidades de subdivisiones. Cada muestra presenta sus coordenadas centrales, el valor evaluado y su contribución ponderada, lo que ofrece una trazabilidad útil para ejercicios, hojas de trabajo, demostraciones de métodos numéricos y pruebas de software. La opción de precisión solo modifica la presentación de los decimales devueltos; las evaluaciones y la acumulación conservan internamente la precisión de coma flotante disponible.

Una malla gruesa facilita la revisión manual porque todos los términos siguen visibles. Una malla fina ayuda a estudiar la convergencia, aunque produce una lista mayor. El cálculo no usa red, aleatoriedad, estado guardado ni reloj.