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勾配の大きさ計算機

Q: 点 (x, y) を指定する必要はありますか？

いいえ。 計算機は、関心点で偏導関数を既に評価済みであるとみなします。必要なのは二つの数値偏導だけです。

Q: 負の偏導関数は許されますか？

はい。 負値は有効な傾きで、二乗を通じて式に入ります。符号は非負の大きさを変えません。

2つの偏導関数から、傾きの急さを1つの数で表します。∂f/∂x が3、∂f/∂y が4なら、勾配の大きさは5、その2乗は25です。両方がゼロなら臨界点として示します。ブラウザで無料で使えます。

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ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

計算例

入力した場合

Fx: 3
Fy: 4

結果

勾配: 3, 4
大きさ: 5
大きさの2乗: 25

二変数のスカラー関数の勾配は一階偏導関数のベクトルであり、その大きさは評価点における関数の最急上昇率です。多変数微積分の授業、最適化ノートブック、工学の曲面モデルでは、記号微分・有限差分・センサー勾配などで fx と fy が既に分かったあとに ||∇f|| が必要になります。この勾配の大きさ計算機は二つの有限な偏導関数を受け取り、勾配ベクトルのユークリッド長を求め、整えた成分・大きさ・二乗大きさ・両偏導が消える臨界点を示すフラグを返します。

勾配の大きさが測るものと計算方法

実二変数 x と y の実数値関数 f について、ある点での勾配はそこで評価した一階偏導関数の順序対です。∇f はベクトル (∂f/∂x, ∂f/∂y) であり、しばしば (fx, fy) と書かれます。

幾何学的には、このベクトルは曲面 z = f(x, y) 上の最急上昇方向を指し、そのユークリッド長は、その方向に進んだときに経験する最も急な傾きそのものです。代数的には、長さはおなじみの二次元 L2 ノルム、すなわち fx の二乗と fy の二乗の和の平方根です。

両方の偏導関数が零のとき大きさは零となり、その点は f の臨界点（局所最大・最小・鞍点）です。偏導が非零のとき大きさは厳密に正で、急な傾きほど大きくなります。実装は記号式を微分しません。

既に求めた数値偏導を渡していただく契約であり、有限差分パイプライン、自動微分のトレース、fx と fy を既に示す教科書演習に適合します。パイプラインは完全に決定的です。

実務で勾配の大きさ計算機が使われる場面

高校・大学の多変数微積分では、既知の偏導関数から始める最急上昇と臨界点の演習が多く、整えた大きさを返す信頼できるオラクルがあれば、完全な計算機代数系を立てずに採点とデモが速くなります。

物理・工学の曲面モデルは、測定またはシミュレーションした傾きを、斜面図・熱伝達界面・地形解析用の単一の急峻度に変換し、多くの場合グリッド上の有限差分が既に fx と fy を与えています。のちに単位勾配方向、任意の単位ベクトルに沿う方向微分、最大最小分類のための高階ヘッセ検定が必要なら、本ページを過負荷にせず別の検索意図とランディングとして扱ってください。

活用例

多変数微積分の宿題チェック

教科書の偏導 fx と fy から ||∇f|| を検証し、零勾配の臨界点も含め、決定的で整列した応答を得ます。

勾配ノルムによる最適化の停止則

自動微分または有限差分の偏導を、ソルバ終了判定用の安定した L2 勾配ノルムへ変換します。

測定傾きからの曲面の急峻度

直交する二つの傾き読み取りを、地形・熱・圧力面の単一の最急上昇大きさにまとめます。

よくある質問

勾配の大きさはどのように計算されますか？

有限数 fx = ∂f/∂x と fy = ∂f/∂y を送ってください。

点 (x, y) を指定する必要はありますか？

いいえ。計算機は、関心点で偏導関数を既に評価済みであるとみなします。必要なのは二つの数値偏導だけです。

両方の偏導関数が零の場合はどうなりますか？

f の臨界点を示し、零勾配は有効な数学結果のため失敗ではなく成功します。

負の偏導関数は許されますか？

はい。負値は有効な傾きで、二乗を通じて式に入ります。符号は非負の大きさを変えません。

∂f/∂x が3、∂f/∂y が4のとき勾配の大きさはいくつですか？

5です。2つの偏導関数をそれぞれ2乗して足すと25になり、その平方根をとります。この値が、その点で関数が最も急に増える割合です。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"fx":3,"fy":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "fx": 3,
    "fy": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "fx": 3,
    "fy": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"fx":3,"fy":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"fx":3,"fy":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "fx": 3,
  "fy": 4
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.gradient_magnitude",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

無料のブラウザ経路と有料 API は同一の純同型関数を共有するため、宿題の照合、LMS の自動採点、本番パイプラインが同じ傾きの組で食い違うことはありません。欠落フィールドや非有限値などの検証失敗は invalid_input となり課金されず、教室デモと前払い自動化は成功一件あたり公開ベース価格 $0.002 で安全に保てます。

勾配の大きさが測るものと計算方法

したがって本計算機は is_zero を true、大きさを零と報告し、方向を捏造しません。乱数シード、壁時計、ネットワーク呼び出し、モデルドリフトはなく、同一の偏導は常に同一の JSON を生みます。欠落フィールド、空文字、NaN、Infinity はフィールド名付きの invalid_input で失敗し、課金されません。

入力契約、応答の形、エラー動作

fx は関心点での f の x に関する偏導関数、fy は同じ点での y に関する偏導関数です。負の偏導も許され、二乗を通じて寄与するため、一軸上の下降傾きでも大きさは正しく増えます。スケッチが必要ならご自身の等高線プロットと組み合わせてください。検証失敗は前払い残高を消費しません。必須の有限数を二つ含む JSON 本体を送ってください。各フィールドは JSON 数または数値文字列として送れます。非有限値、欠落、空文字はフィールド名付きの invalid_input で失敗します。成功時は整えた fx と fy、二成分の gradient 配列、ユークリッド長としての magnitude、平方根を避けたい、あるいは入れ子の根号なしで傾きを比べたい呼び出し側向けの squared_magnitude、臨界点検出用の真偽フラグ is_zero、恒等式を再掲する短い formula 文字列を返します。教科書の定番確認：fx が三、fy が四なら大きさは五となり、ベクトルの大きさドリルの 3-4-5 直角三角形と同じで、squared_magnitude は二十五、is_zero は false です。零勾配の確認：fx と fy がともに零なら大きさ零、squared_magnitude 零、is_zero true となり、停留点の数値的しるしです。本エンドポイントは与えられた二つの傾きをスカラー長にまとめるだけで、図、記号的手順、二階ヘッセ行列データは出しません。成功した API 呼び出しの料金は公開ベース $0.002 毎件です。

実務で勾配の大きさ計算機が使われる場面

対話型教材を作るカリキュラム著者は、零勾配などの境界事例でオフライン課題とオンライン自動採点が揃うよう、無料ツールと API で同じ JSON 形を望みます。本能力は純粋な parse エンジンのため、API 価格は成功一件あたり公開ベース $0.002 で、検証失敗は残高を消費しません。

技術的な質問

料金はいくらですか？

ブラウザツールは無料でローカル実行です。API は成功一件あたり $0.002 の KIT 前払い残高を使い、無効入力は課金されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

勾配の大きさ計算機

無料で実行

計算例

勾配の大きさが測るものと計算方法

実務で勾配の大きさ計算機が使われる場面

活用例

多変数微積分の宿題チェック

勾配ノルムによる最適化の停止則

測定傾きからの曲面の急峻度

よくある質問

関連ツール

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エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

勾配の大きさが測るものと計算方法

入力契約、応答の形、エラー動作

実務で勾配の大きさ計算機が使われる場面

技術的な質問

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