Magnitudine del gradiente
Trasformi due derivate parziali in un solo numero di pendenza: con ∂f/∂x pari a 3 e ∂f/∂y pari a 4, la magnitudine del gradiente è 5 e il suo quadrato 25. Se entrambe sono zero, viene segnalato un punto critico. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Fx
- 3
- Fy
- 4
- Gradiente
- 3, 4
- Modulo
- 5
- Modulo al quadrato
- 25
Il gradiente di una funzione scalare di due variabili è il vettore delle derivate parziali prime, e la sua magnitudine è il tasso di massima crescita di tale funzione nel punto di valutazione. I corsi di calcolo multivariabile, i notebook di ottimizzazione e i modelli di superficie in ingegneria necessitano costantemente di ||∇f|| una volta che fx e fy sono già noti da differenziazione simbolica, differenze finite o pendenze di sensori. Questo calcolatore di magnitudine del gradiente accetta le due derivate parziali finite, forma la lunghezza euclidea del vettore gradiente e restituisce componenti ripuliti, la magnitudine, la magnitudine al quadrato e un flag che segna i punti critici dove entrambe le parziali si annullano.
Cosa misura la magnitudine del gradiente e come si calcola
Per una funzione reale f di due variabili reali x e y, il gradiente in un punto è la coppia ordinata delle derivate parziali prime valutate lì: ∇f è il vettore (∂f/∂x, ∂f/∂y), spesso scritto (fx, fy). Geometricamente quel vettore punta nella direzione di massima ascesa sulla superficie z uguale a f(x, y), e la sua lunghezza euclidea è esattamente la pendenza più ripida che Lei sperimenterebbe camminando in quella direzione.
Algebricamente la lunghezza è la familiare norma L2 bidimensionale: la radice quadrata di fx al quadrato più fy al quadrato. Quando le parziali sono non nulle la magnitudine è strettamente positiva e cresce con pendenze più forti. L'implementazione non differenzia mai un'espressione simbolica per Lei: Lei fornisce parziali numeriche già calcolate, contratto che combacia con pipeline di differenze finite, tracce di differenziazione automatica ed esercizi da manuale che già enunciano fx e fy.
Dove la magnitudine del gradiente compare nel lavoro reale
I corsi di calcolo multivariabile della scuola superiore e dell'università assegnano esercizi di massima ascesa e punti critici che partono da derivate parziali note; un oracolo affidabile che restituisce la magnitudine ripulita accelera la correzione e le demo senza erigere un intero sistema di algebra computazionale.
I modelli di superficie in fisica e ingegneria convertono pendenze misurate o simulate in un unico numero di ripidezza massima per mappe di pendenza, interfacce di trasferimento termico e analisi del terreno, spesso dopo che le differenze finite hanno già prodotto fx e fy su una griglia.
Se in seguito Lei ha bisogno della direzione unitaria del gradiente, di derivate direzionali lungo un vettore unitario arbitrario o di test di hessiana di ordine superiore per classificare massimi e minimi, li tratti come intenzioni di ricerca e landing separate anziché sovraccaricare questa pagina del calcolatore di magnitudine del gradiente.
Casi d'uso
Controlli di calcolo multivariabile
Verifichi ||∇f|| dalle parziali fx e fy del manuale, incluso il caso di punto critico a gradiente nullo, con una risposta ordinata e deterministica.
Arresto per norma del gradiente in ottimizzazione
Converta parziali di differenziazione automatica o differenze finite in una norma L2 del gradiente stabile per i criteri di uscita del solver.
Ripidezza di superficie da pendenze misurate
Combini due letture di pendenza ortogonali in un'unica magnitudine di massima ascesa per superfici di terreno, calore o pressione.
Domande frequenti
Come si calcola la magnitudine del gradiente?
Invii numeri finiti fx = ∂f/∂x e fy = ∂f/∂y.
Devo fornire il punto (x, y)?
No. Il calcolatore assume che Lei abbia già valutato le derivate parziali nel punto di interesse. Sono richieste solo le due parziali numeriche.
Cosa succede se entrambe le derivate parziali sono zero?
Ciò segna un punto critico di f; la richiesta ha successo anziché fallire, perché un gradiente nullo è un risultato matematico valido.
Sono ammesse derivate parziali negative?
Sì. I valori negativi sono pendenze valide; entrano nella formula tramite i quadrati, così il segno non modifica la magnitudine non negativa.
Quanto costa?
Lo strumento del browser è gratuito e viene eseguito in locale.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"fx":3,"fy":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"fx": 3,
"fy": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"fx": 3,
"fy": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"fx":3,"fy":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"fx":3,"fy":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"fx": 3,
"fy": 4
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.gradient_magnitude",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
I fallimenti di validazione come campi assenti o valori non finiti sollevano invalid_input e non vengono fatturati, mantenendo le demo in aula e l'automazione prepagata sicure al prezzo base pubblicato di $0.002 per elemento andato a buon fine.
Cosa misura la magnitudine del gradiente e come si calcola
Quando entrambe le derivate parziali sono zero, la magnitudine è zero e il punto è un punto critico di f — massimo locale, minimo o sella — così questo calcolatore riporta is_zero true e magnitudine zero senza inventare una direzione. La pipeline è pienamente deterministica: nessun seme casuale, nessun orologio di parete, nessuna chiamata di rete e nessuna deriva di modello, così parziali identiche producono sempre lo stesso JSON. Campi assenti, stringhe vuote, NaN e Infinity falliscono con invalid_input che nomina il campo e non vengono addebitati.
Contratto di ingresso, forma della risposta ed errori
Le parziali negative sono ammesse e entrano tramite i quadrati, così una pendenza discendente su un asse aumenta ancora correttamente la magnitudine. Invii un corpo JSON con due numeri finiti obbligatori: fx, la derivata parziale di f rispetto a x nel punto di interesse, e fy, la parziale rispetto a y nello stesso punto. Ciascun campo può arrivare come numero JSON o come stringa numerica; valori non finiti, campi assenti e stringhe vuote falliscono con invalid_input che nomina il campo. In caso di successo il corpo restituisce fx e fy ripuliti, l'array gradiente a due componenti, magnitude come lunghezza euclidea, squared_magnitude per chi vuole evitare una radice quadrata o confrontare pendenze senza radicali annidati, is_zero come flag booleano di rilevamento dei punti critici, e una breve stringa formula che riformula l'identità. Controllo classico da manuale: fx uguale a tre e fy uguale a quattro produce magnitudine cinque, lo stesso triangolo rettangolo 3-4-5 di ogni esercizio di magnitudine vettoriale, con squared_magnitude venticinque e is_zero false. Controllo del gradiente nullo: fx uguale a zero e fy uguale a zero produce magnitudine zero, squared_magnitude zero e is_zero true, firma numerica di un punto stazionario. Abbini la risposta al proprio grafico di contorno se serve uno schizzo; questo endpoint combina solo le due pendenze date in una lunghezza scalare e non emette grafici, passi simbolici né dati dell'hessiana del secondo ordine. Il prezzo delle chiamate API andate a buon fine è la base pubblicata di $0.002 per elemento; i fallimenti di validazione non consumano il saldo prepagato.
Dove la magnitudine del gradiente compare nel lavoro reale
Gli autori di curriculum che costruiscono lezioni interattive vogliono la stessa forma JSON nello strumento gratuito e nell'API affinché fogli offline e correttori online restino allineati su casi limite come il gradiente nullo. Poiché questa capacità è un motore parse puro, il prezzo API è la base pubblicata di $0.002 per elemento riuscito e la validazione fallita non consuma saldo.