Magnitud del gradiente
Convierta dos derivadas parciales en un solo número de pendiente: con ∂f/∂x igual a 3 y ∂f/∂y igual a 4, la magnitud del gradiente es 5 y su cuadrado, 25. Si ambas valen cero, se marca un punto crítico. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- Fx
- 3
- Fy
- 4
- Gradiente
- 3, 4
- Magnitud
- 5
- Magnitud al cuadrado
- 25
El gradiente de una función escalar de dos variables es el vector de las primeras derivadas parciales, y su magnitud es la tasa de mayor crecimiento de esa función en el punto de evaluación. Los cursos de cálculo multivariable, los cuadernos de optimización y los modelos de superficies en ingeniería necesitan ||∇f|| en cuanto fx y fy ya se conocen por diferenciación simbólica, diferencias finitas o pendientes medidas. Esta calculadora de magnitud del gradiente acepta las dos derivadas parciales finitas, forma la longitud euclídea del vector gradiente y devuelve componentes depurados, la magnitud, la magnitud al cuadrado y una bandera que marca puntos críticos donde ambas parciales se anulan.
Qué mide la magnitud del gradiente y cómo se calcula
Para una función real f de dos variables reales x e y, el gradiente en un punto es el par ordenado de primeras derivadas parciales evaluadas allí: ∇f es el vector (∂f/∂x, ∂f/∂y), a menudo escrito (fx, fy). Geométricamente ese vector apunta en la dirección de mayor ascenso sobre la superficie z igual a f(x, y), y su longitud euclídea es exactamente la pendiente más pronunciada que usted experimentaría al caminar en esa dirección.
Algebraicamente la longitud es la conocida norma L2 bidimensional: la raíz cuadrada de fx al cuadrado más fy al cuadrado. Cuando las parciales son no nulas la magnitud es estrictamente positiva y crece con pendientes más fuertes. La implementación nunca diferencia una expresión simbólica por usted: usted suministra parciales numéricas ya calculadas, contrato que encaja con pipelines de diferencias finitas, trazas de diferenciación automática y ejercicios de libro que ya enuncian fx y fy.
Los resultados se depuran a doce dígitos significativos para que los goldens y las tablas de la interfaz permanezcan estables entre runtimes.
Dónde se usa la magnitud del gradiente en el trabajo real
Los cursos de cálculo multivariable de secundaria y universidad asignan ejercicios de máximo ascenso y puntos críticos que parten de derivadas parciales conocidas; un oráculo de confianza que devuelve la magnitud depurada acelera la corrección y las demos sin levantar un sistema de álgebra computacional completo.
Los modelos de superficies en física e ingeniería convierten pendientes medidas o simuladas en un único número de pendiente máxima para mapas de inclinación, interfaces de transferencia de calor y análisis de terreno, a menudo tras diferencias finitas que ya produjeron fx y fy en una malla.
Si más adelante necesita la dirección unitaria del gradiente, derivadas direccionales a lo largo de un vector unitario arbitrario o pruebas de hessiana de orden superior para clasificar máximos y mínimos, trátelos como intenciones de búsqueda y landings separadas en lugar de sobrecargar esta página de calculadora de magnitud del gradiente.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de cálculo multivariable
Verifique ||∇f|| a partir de las parciales fx y fy del libro, incluido el caso de punto crítico con gradiente nulo, con una respuesta ordenada y determinista.
Criterios de parada por norma de gradiente
Convierta parciales de diferenciación automática o diferencias finitas en una norma L2 de gradiente estable para criterios de salida del solver.
Pendiente de superficie desde lecturas medidas
Combine dos lecturas de pendiente ortogonales en una sola magnitud de máximo ascenso para superficies de terreno, calor o presión.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula la magnitud del gradiente?
Envíe números finitos fx = ∂f/∂x y fy = ∂f/∂y.
¿Necesito proporcionar el punto (x, y)?
No. La calculadora supone que usted ya evaluó las derivadas parciales en el punto de interés. Solo se exigen las dos parciales numéricas.
¿Se permiten derivadas parciales negativas?
Sí. Los valores negativos son pendientes válidas; entran en la fórmula por los cuadrados, de modo que el signo no altera la magnitud no negativa.
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
¿Cuál es la magnitud del gradiente si ∂f/∂x vale 3 y ∂f/∂y vale 4?
Es 5. La calculadora eleva al cuadrado ambas derivadas parciales, las suma para obtener 25 y saca la raíz cuadrada. Ese número es la mayor tasa de aumento de la función en su punto.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"fx":3,"fy":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"fx": 3,
"fy": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"fx": 3,
"fy": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"fx":3,"fy":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"fx":3,"fy":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"fx": 3,
"fy": 4
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.gradient_magnitude",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Los fallos de validación, como campos ausentes o valores no finitos, provocan invalid_input y no se facturan, manteniendo las demos de aula y la automatización prepago seguras al precio base publicado de $0.002 por ítem con éxito.
Qué mide la magnitud del gradiente y cómo se calcula
Cuando ambas derivadas parciales son cero, la magnitud es cero y el punto es un punto crítico de f —máximo local, mínimo o silla—, de modo que esta calculadora informa is_zero true y magnitud cero sin inventar una dirección. El pipeline es plenamente determinista: sin semillas aleatorias, sin relojes de pared, sin llamadas de red y sin deriva de modelo, de modo que las mismas parciales producen siempre el mismo JSON. Campos ausentes, cadenas vacías, NaN e Infinity fallan con invalid_input nombrando el campo y no se cobran.
Contrato de entrada, forma de la respuesta y errores
Las parciales negativas están permitidas y entran por los cuadrados, de modo que una pendiente descendente en un eje sigue aumentando la magnitud correctamente. Envíe un cuerpo JSON con dos números finitos obligatorios: fx, la derivada parcial de f respecto de x en el punto de interés, y fy, la parcial respecto de y en el mismo punto. Cada campo puede llegar como número JSON o como cadena numérica; valores no finitos, campos ausentes y cadenas vacías fallan con invalid_input que nombra el campo. En caso de éxito el cuerpo devuelve fx y fy depurados, el array de gradiente de dos componentes, magnitude como longitud euclídea, squared_magnitude para quien desee evitar una raíz cuadrada o comparar pendientes sin radicales anidados, is_zero como bandera booleana de detección de puntos críticos, y una cadena formula breve que reexpresa la identidad. Comprobación clásica de libro: fx igual a tres y fy igual a cuatro da magnitud cinco, el mismo triángulo rectángulo 3-4-5 de todo ejercicio de magnitud vectorial, con squared_magnitude veinticinco e is_zero false. Comprobación de gradiente nulo: fx igual a cero y fy igual a cero da magnitud cero, squared_magnitude cero e is_zero true, firma numérica de un punto estacionario. Combine la respuesta con su propio gráfico de contornos si necesita un croquis; este endpoint solo combina las dos pendientes dadas en una longitud escalar y no emite gráficos, pasos simbólicos ni datos de la hessiana de segundo orden. El precio de las llamadas API con éxito es la base publicada de $0.002 por ítem; los fallos de validación no consumen saldo prepago.
Dónde se usa la magnitud del gradiente en el trabajo real
Los autores de currículos que construyen lecciones interactivas quieren la misma forma JSON en la herramienta gratuita y en la API para que las hojas offline y los correctores online se alineen en casos límite como el gradiente nulo. Como esta capacidad es un motor parse puro, el precio de la API es la base publicada de $0.002 por ítem con éxito y la validación fallida no consume saldo.
Preguntas técnicas
¿Qué ocurre si ambas derivadas parciales son cero?
La magnitud es cero e is_zero es true. Eso marca un punto crítico de f; la petición tiene éxito en lugar de fallar, porque un gradiente nulo es un resultado matemático válido.