Magnitude do gradiente
Transforme duas derivadas parciais em um único número de inclinação: com ∂f/∂x igual a 3 e ∂f/∂y igual a 4, a magnitude do gradiente é 5 e o quadrado é 25. Se ambas forem zero, um ponto crítico é sinalizado. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Fx
- 3
- Fy
- 4
- Gradiente
- 3, 4
- Magnitude
- 5
- Magnitude ao quadrado
- 25
O gradiente de uma função escalar de duas variáveis é o vetor das primeiras derivadas parciais, e sua magnitude é a taxa de maior crescimento dessa função no ponto de avaliação. Cursos de cálculo multivariável, cadernos de otimização e modelos de superfície em engenharia precisam de ||∇f|| assim que fx e fy já são conhecidos por diferenciação simbólica, diferenças finitas ou inclinações de sensores. Esta calculadora de magnitude do gradiente aceita as duas derivadas parciais finitas, forma o comprimento euclidiano do vetor gradiente e devolve componentes limpos, a magnitude, a magnitude ao quadrado e um sinal que marca pontos críticos onde ambas as parciais se anulam.
O que a magnitude do gradiente mede e como é calculada
Para uma função real f de duas variáveis reais x e y, o gradiente em um ponto é o par ordenado das primeiras derivadas parciais avaliadas ali: ∇f é o vetor (∂f/∂x, ∂f/∂y), frequentemente escrito (fx, fy). Geometricamente esse vetor aponta na direção de maior subida sobre a superfície z igual a f(x, y), e seu comprimento euclidiano é exatamente a inclinação mais íngreme que voce experimentaria ao caminhar nessa direção.
Algebricamente o comprimento é a familiar norma L2 bidimensional: a raiz quadrada de fx ao quadrado mais fy ao quadrado. Quando as parciais são não nulas a magnitude é estritamente positiva e cresce com inclinações mais fortes. A implementação nunca diferencia uma expressão simbólica por voce: voce fornece parciais numéricas já calculadas, contrato que combina com pipelines de diferenças finitas, traços de diferenciação automática e exercícios de livro que já enunciam fx e fy.
Onde a magnitude do gradiente aparece no trabalho real
Cursos de cálculo multivariável do ensino médio e da universidade atribuem exercícios de máxima subida e pontos críticos que partem de derivadas parciais conhecidas; um oráculo confiável que devolve a magnitude limpa acelera correção e demos sem levantar um sistema de álgebra computacional completo. Modelos de superfície em física e engenharia convertem inclinações medidas ou simuladas em um único número de íngreme máximo para mapas de declive, interfaces de transferência de calor e análise de terreno, muitas vezes após diferenças finitas já terem produzido fx e fy em uma malha.
Se mais tarde voce precisar da direção unitária do gradiente, derivadas direcionais ao longo de um vetor unitário arbitrário ou testes de hessiana de ordem superior para classificar máximos e mínimos, trate-os como intenções de busca e landings separadas em vez de sobrecarregar esta página de calculadora de magnitude do gradiente.
Casos de uso
Checagens de cálculo multivariável
Verifique ||∇f|| a partir das parciais fx e fy do livro, incluindo o caso de ponto crítico com gradiente nulo, com resposta ordenada e determinística.
Parada por norma de gradiente em otimização
Converta parciais de diferenciação automática ou diferenças finitas em uma norma L2 de gradiente estável para critérios de saída do solver.
Íngreme de superfície a partir de medições
Combine duas leituras de inclinação ortogonais em uma única magnitude de máxima subida para superfícies de terreno, calor ou pressão.
Perguntas frequentes
Como a magnitude do gradiente é calculada?
Envie números finitos fx = ∂f/∂x e fy = ∂f/∂y.
Preciso fornecer o ponto (x, y)?
Não. A calculadora assume que voce já avaliou as derivadas parciais no ponto de interesse. Apenas as duas parciais numéricas são exigidas.
Derivadas parciais negativas são permitidas?
Sim. Valores negativos são inclinações válidas; entram na fórmula pelos quadrados, de modo que o sinal não altera a magnitude não negativa.
Qual é a magnitude do gradiente se ∂f/∂x vale 3 e ∂f/∂y vale 4?
É 5. A calculadora eleva ao quadrado as duas derivadas parciais, soma para obter 25 e tira a raiz quadrada. Esse número é a maior taxa de aumento da função no seu ponto.
O que acontece se as duas derivadas parciais forem zero?
A magnitude é zero e o ponto é crítico: pode ser um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela. A calculadora sinaliza esse caso e não inventa uma direção para o gradiente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"fx":3,"fy":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"fx": 3,
"fy": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"fx": 3,
"fy": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"fx":3,"fy":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"fx":3,"fy":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/gradient-magnitude", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"fx": 3,
"fy": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "calculus.gradient_magnitude",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Falhas de validação como campos ausentes ou valores não finitos geram invalid_input e não são cobradas, mantendo demos de sala e automação pré-paga seguras no preço base publicado de US$ 0,002 por item bem-sucedido.
O que a magnitude do gradiente mede e como é calculada
Quando ambas as derivadas parciais são zero, a magnitude é zero e o ponto é um ponto crítico de f — máximo local, mínimo ou sela —, de modo que esta calculadora informa is_zero true e magnitude zero sem inventar uma direção. O pipeline é plenamente determinístico: sem sementes aleatórias, sem relógios de parede, sem chamadas de rede e sem deriva de modelo, de modo que as mesmas parciais sempre produzem o mesmo JSON. Campos ausentes, cadeias vazias, NaN e Infinity falham com invalid_input nomeando o campo e não são cobrados.
Contrato de entrada, formato da resposta e erros
Parciais negativas são permitidas e entram pelos quadrados, de modo que uma inclinação descendente em um eixo ainda aumenta a magnitude corretamente. Envie um corpo JSON com dois números finitos obrigatórios: fx, a derivada parcial de f em relação a x no ponto de interesse, e fy, a parcial em relação a y no mesmo ponto. Cada campo pode chegar como número JSON ou como cadeia numérica; valores não finitos, campos ausentes e cadeias vazias falham com invalid_input que nomeia o campo. Em caso de sucesso o corpo devolve fx e fy limpos, o array de gradiente de dois componentes, magnitude como comprimento euclidiano, squared_magnitude para quem deseja evitar uma raiz quadrada ou comparar inclinações sem radicais aninhados, is_zero como sinal booleano de detecção de pontos críticos, e uma cadeia formula breve que reexpõe a identidade. Checagem clássica de livro: fx igual a três e fy igual a quatro produz magnitude cinco, o mesmo triângulo retângulo 3-4-5 de todo exercício de magnitude vetorial, com squared_magnitude vinte e cinco e is_zero false. Checagem de gradiente nulo: fx igual a zero e fy igual a zero produz magnitude zero, squared_magnitude zero e is_zero true, assinatura numérica de um ponto estacionário. Combine a resposta com seu próprio gráfico de contornos se precisar de um esboço; este endpoint apenas combina as duas inclinações dadas em um comprimento escalar e não emite gráficos, passos simbólicos nem dados da hessiana de segunda ordem. O preço das chamadas API bem-sucedidas é a base publicada de US$ 0,002 por item; falhas de validação não consomem saldo pré-pago.
Onde a magnitude do gradiente aparece no trabalho real
Autores de currículo que constroem lições interativas querem a mesma forma JSON na ferramenta gratuita e na API para que planilhas offline e corretores online se alinhem em casos limite como o gradiente nulo. Como esta capacidade é um motor parse puro, o preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido e a validação falha não consome saldo.
Perguntas técnicas
E se ambas as derivadas parciais forem zero?
A magnitude é zero e is_zero é true. Isso marca um ponto crítico de f; a requisição tem sucesso em vez de falhar, porque um gradiente nulo é um resultado matemático válido.
Quanto custa a calculadora de magnitude do gradiente?
É grátis no navegador, nesta página. Pela API, cada solicitação bem-sucedida custa US$ 0,002; entradas inválidas não são cobradas.