Calculadora de quatérnios
Informe as quatro partes de um quatérnio e receba juntos a norma e o conjugado: para 1 + 2i + 3j + 4k o conjugado é 1 − 2i − 3j − 4k e a norma é a raiz quadrada de 30, cerca de 5,477. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- W
- 1
- X
- 2
- Y
- 3
- Z
- 4
- Norma
- 5,4772255751
- Conjugado w
- 1
- Conjugado x
- -2
- Conjugado y
- -3
Um quatérnio é um número de quatro componentes escrito q igual a w mais x i mais y j mais z k. Ele estende o plano complexo à álgebra tetradimensional de Hamilton, de modo que um único valor pode carregar ao mesmo tempo uma parte escalar e um vetor espacial. Duas das primeiras grandezas que qualquer pessoa calcula para um q dado são a norma euclidiana — o comprimento dessa quádrupla — e o conjugado, que inverte os sinais das três unidades imaginárias. Motores de jogo, braços robóticos e filtros de atitude de uma espaçonave partem desses dois resultados antes de multiplicar, inverter ou normalizar. Esta calculadora de quatérnios aceita as quatro componentes finitas, devolve a norma e o conjugado, e rejeita qualquer parte ausente, infinita ou que não seja um número.
O que é um quatérnio e o que a norma e o conjugado registram
A álgebra de quatérnios de Hamilton é a única álgebra de divisão real de quatro dimensões. Um elemento geral é q igual a w mais x i mais y j mais z k, em que w, x, y e z são reais, e as unidades imaginárias satisfazem i ao quadrado igual a j ao quadrado igual a k ao quadrado igual a i j k igual a menos um.
Essas regras impõem as relações de anticomutação conhecidas: i j igual a k, j k igual a i, k i igual a j, e os produtos opostos trocam de sinal; é exatamente por isso que um quatérnio unitário codifica uma rotação 3D sem o travamento de gimbal dos ângulos de Euler. Antes de qualquer produto ou inversa, o próprio q fixa dois fatos escalar-vetoriais. O conjugado é o mesmo escalar com a parte vetorial invertida: q barra igual a w menos x i menos y j menos z k.
As duas identidades que se seguem explicam por que esses resultados viajam juntos: o produto de q pelo conjugado é o real ||q|| ao quadrado, e quando a norma não é zero a inversa é o conjugado dividido por esse quadrado. Um quatérnio nulo é uma quádrupla legítima — cada componente finita e igual a zero —, então esta calculadora devolve norma zero e conjugado zero em vez de inventar uma falha de inversa indefinida que o contrato não promete.
O campo formula reafirma sempre ||q|| igual a hypot de w, x, y, z e q barra igual a w menos x i menos y j menos z k, para um tutorial mostrar a regra ao lado da resposta numérica sem manter uma segunda tabela de conteúdo.
Onde a norma e o conjugado ajudam
Salas de aula e plataformas de tutoria usam uma calculadora de quatérnios para que aprendizes verifiquem a norma de quatro componentes e o conjugado sem inverter à mão a unidade imaginária errada. Geradores de provas e plugins de LMS precisam de um oráculo determinístico que sempre devolva o mesmo comprimento arredondado e as mesmas três partes vetoriais negadas para os mesmos quatro coeficientes, o que o parse puro tier A garante sem tokens de modelo nem rede de saída.
Motores de jogo e ferramentas de animação guardam orientações como quatérnios e precisam da norma antes de normalizar um quadro-chave levemente deslocado, mais o conjugado quando invertem uma pose de pai para filho. Fluxos de robótica e de espaçonaves convertem incrementos de IMU em números de Hamilton e inspecionam ||q|| como verificação de saúde de que a estimativa de atitude não saiu da esfera unitária. Cadernos de computação gráfica costumam partir de amostras w, x, y, z e querem o conjugado antes de aplicar q v q-barra a um vetor.
A validação malsucedida não consome saldo. Mantenha as solicitações pequenas, fixe norm e as quatro componentes do conjugado nos testes e obtenha aritmética de quatérnios reproduzível para lição de casa, correção e edge workers sem montar uma biblioteca própria de álgebra linear.
Casos de uso
Conferências de aula e lição de casa
Permita que estudantes enviem w, x, y e z de q = w + xi + yj + zk e verifiquem a norma euclidiana e o conjugado perante a álgebra de Hamilton do livro didático.
Correção automática em provas e LMS
Corrija itens de quatérnio com um oráculo determinístico que rejeita componentes não finitas e sempre devolve a mesma norma e o mesmo conjugado arredondados.
Fluxos de orientação, robótica e gráficos
Inspecione ||q|| e q̄ em atitudes armazenadas antes de normalizar um quadro-chave ou aplicar o produto sanduíche q v q̄ a um vetor, sem importar uma biblioteca completa de álgebra linear.
Perguntas frequentes
Como calculo a norma e o conjugado de um quatérnio?
Envie quatro números finitos w, x, y e z para q = w + xi + yj + zk.
O que é o conjugado de um quatérnio?
O conjugado q̄ conserva a parte escalar w e nega a parte vetorial: q̄ = w − xi − yj − zk. O produto q·q̄ é o número real ||q||².
O que acontece se w, x, y ou z faltar, for infinito ou não for um número?
Entrada inválida não é cobrada e não devolve uma norma nem um conjugado parciais.
O quatérnio nulo é permitido?
Ela não inverte q, então uma entrada nula não é um erro.
Como obter o inverso de um quatérnio a partir do conjugado?
Divida o conjugado pelo quadrado da norma. Para 1 + 2i + 3j + 4k a norma ao quadrado é 30, então o inverso é 1 − 2i − 3j − 4k dividido por 30. Um quatérnio de norma zero não tem inverso.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/quaternion \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"w":1,"x":2,"y":3,"z":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/quaternion", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"w": 1,
"x": 2,
"y": 3,
"z": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/quaternion",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"w": 1,
"x": 2,
"y": 3,
"z": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/quaternion", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"w":1,"x":2,"y":3,"z":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"w":1,"x":2,"y":3,"z":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/quaternion", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"w": 1,
"x": 2,
"y": 3,
"z": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.quaternion",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O que é um quatérnio e o que a norma e o conjugado registram
A norma euclidiana é o comprimento tetradimensional ||q|| igual à raiz de w ao quadrado mais x ao quadrado mais y ao quadrado mais z ao quadrado; este endpoint avalia esse comprimento com uma hipotenusa de quatro argumentos para que os quadrados intermediários propensos a estouro se comportem bem.
Contrato de entrada, forma da resposta e validação
Todos os campos numéricos são arredondados a doze casas decimais para que os goldens comparem byte a byte entre runtimes. Exemplo: w igual a um, x igual a dois, y igual a três, z igual a quatro produz quaternion 1+2i+3j+4k, conjugate 1-2i-3j-4k e norma a raiz de trinta, cerca de 5.477. O quatérnio nulo 0+0i+0j+0k é aceito e devolve norma zero. Envie por POST um corpo JSON com quatro números finitos obrigatórios: w, a parte escalar; x, o coeficiente de i; y, o coeficiente de j; e z, o coeficiente de k. Cada campo pode chegar como número JSON ou como string numérica; strings vazias, chaves ausentes, Infinity, NaN e texto não numérico falham com invalid_input nomeando o campo, e essas falhas não consomem saldo pré-pago. Aliases opcionais projetam as outras letras de Hamilton nas mesmas quatro posições: scalar, a e real em w; i e b em x; j e c em y; k e d em z. Em caso de sucesso, o corpo ecoa as quatro componentes de entrada arredondadas, devolve norm como número, devolve as quatro componentes do conjugado como conjugate_w, conjugate_x, conjugate_y e conjugate_z, e fornece duas strings de exibição: quaternion para a forma de Hamilton original e conjugate para a forma barrada. Combine a resposta JSON estruturada com o seu próprio código de matriz de rotação se precisar de uma conversão; esta capacidade calcula só a norma e o conjugado de um quatérnio e não multiplica, inverte nem normaliza.
Onde uma API de quatérnios rende o investimento
Como a implementação é parse puro, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002.
Perguntas técnicas
Quanto custa a calculadora de quatérnios?
A ferramenta do navegador é gratuita. Solicitações à API usam saldo pré-pago do KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.