Calculateur d'angle moitié

Les formules de l'angle moitié interviennent dès qu'il faut le sinus, le cosinus ou la tangente de θ/2 sans appeler une bibliothèque trigonométrique complète sur la seule valeur divisée par deux — par exemple pour vérifier des exercices de manuel, réduire des expressions à plusieurs angles, ou contrôler qu'un chemin atan2 d'un firmware concorde avec les identités analytiques. Cette capacité prend un angle complet θ en degrés ou radians, applique les identités classiques sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ)/2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2) et tan(θ/2) = sin θ/(1 + cos θ), et choisit chaque signe d'après le quadrant du vrai angle moitié pour que les résultats correspondent au demi-tour géométrique plutôt qu'à un radical sans signe.

Ce que calculent les identités de l'angle moitié

Étant donné un angle complet θ connu, les identités de l'angle moitié expriment les fonctions trigonométriques de θ/2 en fonction de cos θ et sin θ. Les formes en sinus et cosinus utilisent des racines carrées de (1 − cos θ)/2 et (1 + cos θ)/2 respectivement, qui donnent toujours des amplitudes positives ou nulles ; le bon signe algébrique ne s'invente pas — il doit correspondre au quadrant où l'angle moitié se situe réellement.

Par exemple, si θ = 270° alors θ/2 = 135°, qui se trouve dans le deuxième quadrant, donc sin(θ/2) est positif tandis que cos(θ/2) est négatif, et tan(θ/2) est par conséquent négatif. Un calculateur qui ne renvoie que la racine carrée positive paraîtra juste sur un devoir du premier quadrant aigu et faux dès que l'angle moitié franchit un autre secteur du plan.

La formule de la tangente de l'angle moitié tan(θ/2) = sin θ/(1 + cos θ) (ou la forme compagne (1 − cos θ)/sin θ quand le premier dénominateur s'annule) porte le signe automatiquement dans presque tous les cas, et cet outil bascule prudemment lorsque θ est un multiple impair de π où tan(θ/2) n'est pas défini.

Utiliser les identités plutôt que de simplement appeler sin(θ/2) isolément est utile sur le plan pédagogique : étudiants et relecteurs voient que le résultat concorde avec la forme en radical écrite à la main, tout en obtenant les valeurs signées correctes dont ils ont besoin pour les vecteurs, les phaseurs et les constructions géométriques.

Signes, tangente non définie, précision et limites

Le choix du signe est piloté par l'angle moitié normalisé dans (−π, π] : le sinus est positif ou nul dans le demi-plan supérieur de cet intervalle et le cosinus est positif ou nul dans le demi-plan droit, conformément aux conventions usuelles du cercle trigonométrique.

Les amplitudes proviennent toujours des radicaux de l'angle moitié, si bien que les chemins en virgule flottante restent cohérents avec les identités des manuels même quand un cos θ intermédiaire déborde légèrement de [−1, 1] à cause de l'arrondi — les valeurs sous la racine carrée sont bornées à zéro. Les résultats sont arrondis à douze décimales pour des tests de référence stables et une parité inter-moteurs.

Quand cos θ est proche de −1 et sin θ proche de 0, tan(θ/2) est signalée comme non définie plutôt que comme un énorme nombre accidentel. Il n'y a aucune recherche réseau, aucun tirage aléatoire et aucune dépendance à l'horloge : des entrées identiques produisent toujours la même sortie, ce qui rend la capacité sûre pour les tests unitaires, les pipelines d'intégration continue et les feuilles de travail hors ligne.