Calculadora de meio-ângulo
Digite um ângulo inteiro de 90° e receba um meio-ângulo de 45°, com seno e cosseno de 0,707106781187 e tangente 1. Cada sinal segue o quadrante onde o meio-ângulo realmente cai, e não apenas a raiz positiva. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Ângulo
- 90 deg
- Ângulo (rad)
- 1,5707963268 deg
- Ângulo (graus)
- 90
- Meio ângulo (rad)
- 0,7853981634
- Meio ângulo (graus)
- 45
As fórmulas de meio-ângulo aparecem sempre que você precisa do seno, cosseno ou tangente de θ/2 sem chamar uma biblioteca trigonométrica completa apenas sobre o valor dividido pela metade—por exemplo, ao verificar exercícios de livro, reduzir expressões de múltiplos ângulos ou conferir se um caminho atan2 de firmware concorda com identidades de forma fechada. Esta capacidade recebe um ângulo completo θ em graus ou radianos, aplica as identidades clássicas sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ)/2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2) e tan(θ/2) = sin θ/(1 + cos θ), e escolhe cada sinal a partir do quadrante do meio-ângulo verdadeiro para que os resultados correspondam à meia-volta geométrica, e não a um radical sem sinal.
O que as identidades de meio-ângulo calculam
Dado um ângulo completo θ conhecido, as identidades de meio-ângulo expressam as funções trigonométricas de θ/2 em termos de cos θ e sin θ. As formas de seno e cosseno usam raízes quadradas de (1 − cos θ)/2 e (1 + cos θ)/2 respectivamente, que sempre produzem magnitudes não negativas; o sinal algébrico correto não é livre para inventar—ele precisa corresponder ao quadrante onde o meio-ângulo de fato cai.
Por exemplo, se θ = 270° então θ/2 = 135°, que fica no segundo quadrante, de modo que sin(θ/2) é positivo enquanto cos(θ/2) é negativo, e tan(θ/2) é, portanto, negativo. Uma calculadora que só retorna a raiz quadrada positiva parecerá correta em tarefas agudas do primeiro quadrante e errada assim que o meio-ângulo cruzar para outro setor do plano.
A fórmula da tangente de meio-ângulo tan(θ/2) = sin θ/(1 + cos θ) (ou a forma acompanhante (1 − cos θ)/sin θ quando o primeiro denominador se anula) carrega o sinal automaticamente em quase todos os casos, e esta ferramenta recorre com cuidado a alternativas quando θ é um múltiplo ímpar de π, onde tan(θ/2) é indefinida.
Usar as identidades em vez de apenas chamar sin(θ/2) isoladamente é útil pedagogicamente: alunos e revisores podem ver que o resultado concorda com a forma radical que escreveram à mão, enquanto ainda obtêm os valores com sinal, corretos para engenharia, de que precisam para vetores, fasores e construções geométricas.
Sinais, tangente indefinida, precisão e limites
A seleção de sinal é guiada pelo meio-ângulo normalizado em (−π, π]: o seno é não negativo no semiplano superior desse intervalo e o cosseno é não negativo no semiplano direito, correspondendo às convenções padrão do círculo unitário. As magnitudes ainda vêm dos radicais do meio-ângulo, então os caminhos de ponto flutuante permanecem consistentes com as identidades dos livros mesmo quando cos θ intermediário fica ligeiramente fora de [−1, 1] por arredondamento—os valores sob a raiz quadrada são limitados em zero.
Os resultados são arredondados para doze casas decimais para testes de referência estáveis e paridade entre motores. Quando cos θ está quase em −1 e sin θ está quase em 0, tan(θ/2) é reportada como indefinida em vez de um número enorme acidental. Não há consulta de rede, amostragem aleatória nem dependência do relógio: entradas idênticas sempre produzem saída idêntica, o que torna a capacidade segura para testes de unidade, pipelines de CI e planilhas offline.
Casos de uso
Conferência de meio-ângulo em tarefas e livros
Os alunos inserem 60°, 90° ou 270° e confirmam sin(θ/2), cos(θ/2) e tan(θ/2) com sinal em relação ao trabalho manual que usa as identidades radicais.
Reduções de engenharia e auditorias de firmware
Scripts verificam se as reduções de meio-ângulo na lei de controle ou no código CAD correspondem às identidades de forma fechada antes de enviar uma mudança numérica.
Perguntas frequentes
Quais fórmulas de meio-ângulo vocês usam?
sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ)/2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2) e tan(θ/2) = sin θ/(1 + cos θ) (com a forma acompanhante quando necessário). Os sinais seguem o quadrante de θ/2.
O que acontece se o ângulo não for um número?
Apenas ângulos numéricos finitos (ou strings de dígitos que analisam para números finitos) são aceitos.
Quando a tangente do meio-ângulo é indefinida?
Quando θ/2 é um múltiplo ímpar de π/2 (por exemplo, θ = π), o cosseno do meio-ângulo é zero.
Quais são os valores do meio-ângulo para 90 graus?
O meio-ângulo é 45°, então o seno e o cosseno valem 0,707106781187 e a tangente vale 1. O meio-ângulo está no primeiro quadrante, por isso os três valores são positivos.
Como a calculadora escolhe o sinal de mais ou de menos?
Pelo quadrante em que o meio-ângulo realmente cai. Para 270°, o meio-ângulo é 135°, no segundo quadrante, então o seno é positivo, o cosseno negativo e a tangente negativa.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/half-angle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"angle":90}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/half-angle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"angle": 90
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/half-angle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"angle": 90
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/half-angle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"angle":90}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"angle":90}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/half-angle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"angle": 90
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.half_angle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Entradas não numéricas são rejeitadas com invalid_input para que dados ruins nunca se pareçam com uma resposta real. O algoritmo é aritmética pura: determinístico, offline e idêntico no executor gratuito do navegador e no caminho pago da API.
Como chamar a calculadora e ler o resultado
Envie um campo numérico chamado angle (os aliases theta e value são aceitos) e, opcionalmente, unit definido como deg ou degrees (o padrão) ou rad ou radians. Strings de dígitos que analisam para números finitos são permitidas; campos ausentes, strings vazias, NaN, Infinity, objetos e outros tipos não numéricos falham com invalid_input nomeando o problema. Em caso de sucesso, o JSON ecoa o ângulo e a unidade de entrada, reporta o ângulo completo tanto em radianos quanto em graus, reporta o meio-ângulo em ambas as unidades e retorna sin_half, cos_half e tan_half junto com sin_theta e cos_theta para auditoria. Quando o meio-ângulo cai sobre um múltiplo ímpar de π/2, tan_half é null e tan_defined é false, para que os clientes não tratem uma inclinação infinita como zero. Um rótulo half_quadrant (1–4 ou marcas de eixo como positive_y) facilita conferir a escolha de sinal sem redesenhar o círculo unitário. O preço de uma chamada de API bem-sucedida é fixo em US$ 0,002 por item; falhas de validação nunca são cobradas. Clientes típicos incluem alunos conferindo tarefas para casos de 60°, 90° ou 270°, tutores gerando gabaritos, engenheiros verificando reduções de meio-ângulo em CAD ou software de controle, e testes automatizados que congelam o JSON esperado para regressão.
Sinais, tangente indefinida, precisão e limites
Intenções de busca relacionadas, como fórmulas de ângulo duplo, sin/cos/tan completos de um ângulo sem dividir pela metade, ou conversões polares, são landings separadas; esta página é dedicada a sin, cos e tan de meio-ângulo com sinais corretos a partir de um único ângulo completo.
Casos de integração
Fixtures de CI para bibliotecas de trigonometria
Pipelines congelam saídas JSON de referência para meio-ângulos positivos e negativos, de modo que uma refatoração futura não possa inverter sinais silenciosamente.
Perguntas técnicas
Como calculo sin, cos e tan da metade de um ângulo?
Faça POST de um angle numérico (e um unit opcional deg ou rad) para o endpoint de meio-ângulo, ou use o formulário gratuito do navegador. A resposta inclui sin_half, cos_half e tan_half com sinais corretos por quadrante.
A calculadora de meio-ângulo do navegador é gratuita?
Sim. O executor no navegador usa a mesma biblioteca da API e não custa nada. A API cobra US$ 0,002 por requisição bem-sucedida do seu saldo pré-pago do KIT.