Fórmulas do ângulo metade
Digite um ângulo em graus e receba o seno, o cosseno e a tangente da metade dele com o sinal certo: 90° dá 45°, com seno e cosseno de √2/2 e tangente 1, e 270° cai em 135° com cosseno negativo. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- Ângulo
- 90
- Meio ângulo
- 45
- Seno do meio ângulo
- 0,7071067812
- Cosseno do ângulo metade
- 0,7071067812
- Tangente do ângulo metade
- 1
As fórmulas de meio-ângulo aparecem sempre que você já conhece um ângulo em graus e precisa do seno, do cosseno e da tangente da metade desse ângulo: identidades de livro, reduções CAD, aritmética de fasores e auditorias de firmware convergem nesses três valores. Esta calculadora recebe um único número finito θ em graus, converte internamente para radianos e aplica as identidades clássicas sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ)/2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2) e tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ). Os sinais algébricos seguem o quadrante de θ/2, de modo que uma entrada de 270° produz o par do segundo quadrante em 135°, não um par de radicais sem sinal.
O que as identidades de meio-ângulo calculam
As identidades de meio-ângulo são expressões de forma fechada para as funções trigonométricas de θ/2 escritas em termos do cosseno e do seno do ângulo completo θ.
Em todo livro de álgebra e pré-cálculo elas aparecem como sen(θ/2) igual a mais ou menos a raiz de (1 menos cos θ) sobre dois, cos(θ/2) igual a mais ou menos a raiz de (1 mais cos θ) sobre dois, e tan(θ/2) igual a sen θ dividido por (1 mais cos θ), ou de forma equivalente (1 menos cos θ) dividido por sen θ.
Essas raízes sempre produzem uma magnitude não negativa, então o sinal algébrico é uma decisão à parte: precisa coincidir com o quadrante em que o meio-ângulo geométrico de fato se encontra. Se θ vale duzentos e setenta graus, então θ/2 vale cento e trinta e cinco graus e cai no segundo quadrante; o seno é positivo, o cosseno é negativo e a tangente, portanto, é negativa. Uma ferramenta que só devolve o radical positivo acerta em tarefas agudas do primeiro quadrante e erra assim que θ/2 cruza um eixo.
Esta calculadora converte a medida em graus para radianos, avalia cosseno e seno do ângulo completo, toma as magnitudes das identidades com um recorte para que erros de arredondamento negativos sob a raiz virem zero, e depois multiplica pelo sinal do seno e do cosseno de θ/2.
A fórmula da tangente carrega o próprio sinal em quase todos os casos; quando o meio-ângulo cai em um múltiplo ímpar de noventa graus, o cosseno da metade é zero e o campo da tangente é omitido em vez de forjar um flutuante enorme.
Sinais, tangente indefinida e precisão
A escolha do sinal é guiada pelo verdadeiro meio-ângulo em radianos: o seno de θ/2 é não negativo no semiplano superior e o cosseno de θ/2 é não negativo no semiplano direito, de acordo com as convenções do círculo unitário.
As magnitudes ainda vêm dos radicais de meio-ângulo, de modo que os caminhos de ponto flutuante permanecem consistentes com as identidades do livro mesmo quando o cos θ intermediário fica um pouco fora do intervalo fechado de menos um a um por arredondamento: os valores sob a raiz são recortados em zero. O ruído próximo de zero abaixo de um vezes dez à menos catorze é limpo para zero antes do arredondamento a doze casas, o que faz 0, 1 e −1 parecerem os ângulos especiais exatos que são.
Não há consulta de rede, amostragem aleatória nem dependência do relógio: entradas idênticas sempre produzem a mesma saída, o que torna a capacidade segura para testes de unidade, pipelines de CI e planilhas offline.
Casos de uso
Conferência de meio-ângulo em tarefas e livros
Alunos digitam 60°, 90° ou 270° e confirmam sen(θ/2), cos(θ/2) e tan(θ/2) com sinal frente ao trabalho à mão que usa as identidades com radicais.
Reduções de engenharia e auditorias de firmware
Scripts verificam que as reduções de meio-ângulo na lei de controle ou no código CAD coincidem com as identidades de forma fechada antes de publicar uma mudança numérica.
Perguntas frequentes
Quais fórmulas de meio-ângulo esta calculadora usa?
sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ)/2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2) e tan(θ/2) = sin θ/(1 + cos θ) (com a forma companheira quando preciso). Os sinais seguem o quadrante de θ/2. A entrada é só em graus.
O que acontece se o ângulo não for um número finito?
Só são aceitos ângulos numéricos finitos (ou strings de dígitos que se analisam como números finitos). Infinity, NaN, campos ausentes e objetos são rejeitados e não cobrados.
Quando a tangente do meio-ângulo é omitida?
Quando θ/2 é um múltiplo ímpar de 90° (por exemplo θ = 180°), o cosseno do meio-ângulo é zero.
Por que o cosseno fica negativo com um ângulo de 270°?
A metade de 270° é 135°, que fica no segundo quadrante, onde o seno é positivo e o cosseno é negativo. Cada valor recebe o sinal do quadrante onde o meio-ângulo realmente está, e não apenas a raiz positiva.
Posso digitar o ângulo em radianos?
Não, o ângulo é sempre lido em graus. Digite um ângulo de livro como 60, 90 ou 270 graus; a passagem para radianos acontece dentro do cálculo, então você não converte nada à mão.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/half-angle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"angle":90}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/half-angle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"angle": 90
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/half-angle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"angle": 90
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/half-angle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"angle":90}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"angle":90}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/half-angle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"angle": 90
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.half_angle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Ângulos ausentes, infinitos ou não numéricos falham com invalid_input e nunca são cobrados.
O que as identidades de meio-ângulo calculam
Usar as identidades em vez de uma única chamada de biblioteca sobre θ/2 permite que alunos comparem o JSON com os radicais que escreveram à mão e, ao mesmo tempo, obtenham valores com sinal corretos para vetores, fasores e construções geométricas que dependem de que lado do eixo a meia-volta ocupa.
Como chamar a calculadora e ler os três resultados
Não há seletor de unidade nesta página: o contrato é só em graus, o que combina com a intenção de busca de quem digita um ângulo de livro como sessenta, noventa ou duzentos e setenta e espera de volta seno, cosseno e tangente do meio-ângulo. Os resultados são arredondados a doze casas decimais para testes de ouro estáveis e paridade entre motores. Envie um corpo JSON com um único campo obrigatório chamado angle, um número finito de graus. Os aliases theta e value são aceitos para que formulários, planilhas e query strings reutilizem o mesmo contrato. Strings de dígitos que se analisam como números finitos são permitidas; campos ausentes, strings vazias, NaN, Infinity, objetos, arrays e demais tipos não numéricos falham com invalid_input nomeando o problema, e essas falhas não são cobradas. Em caso de sucesso, o JSON ecoa o ângulo de entrada, informa half_angle como θ/2 em graus e devolve sin_half, cos_half e —quando definida— tan_half, mais um booleano tan_defined para que os clientes não tratem uma tangente omitida como zero. Uma chamada típica com angle noventa produz half_angle quarenta e cinco e o par familiar √2/2, √2/2, tangente um. Uma chamada com angle duzentos e setenta produz half_angle cento e trinta e cinco, seno positivo, cosseno negativo e tangente menos um, que é a conferência com sinal do segundo quadrante que gabaritos de radical sem sinal costumam perder. Emparelhe a resposta com o seu próprio esboço do círculo unitário se precisar de um desenho; este endpoint devolve os três valores numéricos do meio-ângulo e não emite gráficos nem prosa passo a passo. O preço de uma chamada de API bem-sucedida é um valor fixo de US$ 0,002 na unidade item.
Sinais, tangente indefinida, precisão e onde esta API se encaixa
Quando cos θ está quase em menos um e sen θ está quase em zero, tan(θ/2) é informada como indefinida: tan_defined é false e tan_half é omitido, porque θ/2 é um múltiplo ímpar de noventa graus e uma inclinação infinita não deve parecer uma resposta finita. Intenções de busca relacionadas, como fórmulas de ângulo duplo, um sen/cos/tan completo de um ângulo sem dividir pela metade, ou conversões polares, são páginas à parte; esta se dedica ao seno, ao cosseno e à tangente do meio-ângulo a partir de um único ângulo finito em graus.
Casos de integração
Fixtures de CI para bibliotecas de trigonometria
Pipelines congelam saídas de ouro em JSON para meios-ângulos positivos e negativos, para que uma refatoração futura não inverta sinais em silêncio.
Perguntas técnicas
Como calcular sen, cos e tan da metade de um ângulo em graus?
Envie um número finito no campo angle (os aliases theta e value são aceitos) ou use o formulário gratuito do navegador. A resposta inclui sin_half, cos_half e tan_half com sinais corretos segundo o quadrante.
A ferramenta de fórmula de meio-ângulo no navegador é grátis?
Sim. O executor no navegador usa a mesma biblioteca da API e não custa nada. A API cobra US$ 0,002 por requisição bem-sucedida do saldo pré-pago de KIT; entrada inválida não é cobrada.