Halbwinkelformeln
Geben Sie einen Winkel in Grad ein und erhalten Sie Sinus, Kosinus und Tangens seiner Hälfte mit dem richtigen Vorzeichen: 90° ergibt 45° mit Sinus und Kosinus √2/2 und Tangens 1, 270° landet bei 135° mit negativem Kosinus. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Winkel
- 90
- Halber Winkel
- 45
- Sinus des halben Winkels
- 0,7071067812
- Kosinus des halben Winkels
- 0,7071067812
- Tangens des halben Winkels
- 1
Halbwinkelformeln greifen, sobald Sie einen Winkel in Grad bereits kennen und Sinus, Kosinus und Tangens der Hälfte dieses Winkels brauchen: Lehrbuchidentitäten, CAD-Reduktionen, Zeigerarithmetik und Firmware-Prüfungen treffen sich bei denselben drei Werten. Dieser Rechner nimmt eine einzige endliche Zahl θ in Grad entgegen, wandelt sie intern ins Bogenmaß und wendet die klassischen Identitäten sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ)/2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2) und tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) an. Algebraische Vorzeichen folgen dem Quadranten von θ/2, sodass eine Eingabe von 270° das Paar des zweiten Quadranten bei 135° liefert, nicht ein Paar vorzeichenloser Radikale.
Was die Halbwinkelidentitäten berechnen
Die Halbwinkelidentitäten sind geschlossene Ausdrücke für die trigonometrischen Funktionen von θ/2, geschrieben über Kosinus und Sinus des vollen Winkels θ. In jedem Algebra- und Trigonometrie-Lehrbuch stehen sie als sin(θ/2) gleich plus oder minus der Wurzel aus (1 minus cos θ) durch zwei, cos(θ/2) gleich plus oder minus der Wurzel aus (1 plus cos θ) durch zwei, und tan(θ/2) gleich sin θ geteilt durch (1 plus cos θ), oder gleichwertig (1 minus cos θ) geteilt durch sin θ.
Diese Wurzeln liefern stets einen nichtnegativen Betrag, daher ist das algebraische Vorzeichen eine eigene Entscheidung: Es muss zum Quadranten passen, in dem der geometrische Halbwinkel wirklich liegt. Ist θ zweihundertsiebzig Grad, dann ist θ/2 einhundertfünfunddreißig Grad und liegt im zweiten Quadranten; der Sinus ist positiv, der Kosinus negativ und der Tangens folglich negativ. Ein Werkzeug, das nur das positive Radikal zurückgibt, trifft spitze Hausaufgaben im ersten Quadranten und scheitert, sobald θ/2 eine Achse kreuzt.
Dieser Rechner wandelt das Gradmaß ins Bogenmaß, wertet Kosinus und Sinus des vollen Winkels aus, nimmt die Identitätsbeträge mit einer Begrenzung, damit winzige negative Rundungsfehler unter der Wurzel zu null werden, und multipliziert dann mit dem Vorzeichen von Sinus und Kosinus von θ/2 selbst. Die Tangensformel trägt ihr Vorzeichen in fast allen Fällen selbst; landet der Halbwinkel auf einem ungeraden Vielfachen von neunzig Grad, ist der Kosinus der Hälfte null und das Tangensfeld wird weggelassen statt als riesige Gleitkommazahl erfunden.
Die Vorzeichenwahl steuert der wahre Halbwinkel im Bogenmaß: Der Sinus von θ/2 ist in der oberen Halbebene nichtnegativ und der Kosinus von θ/2 in der rechten Halbebene, gemäß den Konventionen des Einheitskreises. Die Beträge stammen weiterhin aus den Halbwinkelradikalen, sodass Gleitkommapfade selbst dann mit den Lehrbuchidentitäten übereinstimmen, wenn ein zwischenzeitliches cos θ durch Rundung leicht außerhalb des abgeschlossenen Intervalls von minus eins bis eins liegt — Werte unter der Wurzel werden bei null abgeschnitten.
Rauschen nahe null unter eins mal zehn hoch minus vierzehn wird vor der Rundung auf zwölf Stellen auf null gesetzt, sodass 0, 1 und −1 wie die exakten Sonderwinkel aussehen, die sie sind. Es gibt keine Netzabfrage, keine Zufallsstichprobe und keine Abhängigkeit von der Systemuhr: Identische Eingaben erzeugen stets identische Ausgaben, was die Fähigkeit für Unit-Tests, CI-Pipelines und Offline-Arbeitsblätter sicher macht.
Anwendungsfälle
Halbwinkelkontrollen für Hausaufgaben und Lehrbücher
Studierende geben 60°, 90° oder 270° ein und prüfen vorzeichenbehaftetes sin(θ/2), cos(θ/2) und tan(θ/2) gegen Handrechnung mit den Radikalidentitäten.
Technische Reduktionen und Firmware-Prüfungen
Skripte prüfen, dass Halbwinkelreduktionen in einem Regelgesetz oder CAD-Code mit den geschlossenen Identitäten übereinstimmen, bevor eine Zahlenänderung ausgeliefert wird.
Häufige Fragen
Welche Halbwinkelformeln verwendet dieser Rechner?
sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ)/2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2) und tan(θ/2) = sin θ/(1 + cos θ) (mit der Begleitform bei Bedarf). Vorzeichen folgen dem Quadranten von θ/2. Die Eingabe erfolgt nur in Grad.
Was geschieht, wenn der Winkel keine endliche Zahl ist?
Nur endliche numerische Winkel (oder Ziffernketten, die zu endlichen Zahlen parsen) werden akzeptiert. Infinity, NaN, fehlende Felder und Objekte werden zurückgewiesen und nicht berechnet.
Wann entfällt der Tangens des Halbwinkels?
Wenn θ/2 ein ungerades Vielfaches von 90° ist (zum Beispiel θ = 180°), ist der Kosinus des Halbwinkels null.
Warum ist der Kosinus bei 270° negativ?
Die Hälfte von 270° ist 135°, und dieser Winkel liegt im zweiten Quadranten, wo der Sinus positiv und der Kosinus negativ ist. Jeder Wert erhält das Vorzeichen des Quadranten, in dem der halbe Winkel tatsächlich liegt.
Kann ich den Winkel im Bogenmaß eingeben?
Nein, der Winkel wird immer in Grad gelesen. Geben Sie einen Lehrbuchwinkel wie 60, 90 oder 270 Grad ein; die Umrechnung ins Bogenmaß geschieht innerhalb der Berechnung.
Wann fehlt der Tangens im Ergebnis?
Wenn der halbe Winkel auf ein ungerades Vielfaches von 90 Grad fällt, etwa bei einer Eingabe von 180 Grad, ist sein Kosinus null. Der Tangens ist dann nicht definiert und wird weggelassen, statt eine riesige Zahl anzuzeigen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/half-angle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"angle":90}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/half-angle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
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});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/half-angle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"angle": 90
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/half-angle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"angle":90}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"angle":90}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/half-angle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"angle": 90
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.half_angle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Fehlende, unendliche oder nicht numerische Winkel scheitern mit invalid_input und werden nicht berechnet.
Was die Halbwinkelidentitäten berechnen
Identitäten statt eines einzelnen Bibliotheksaufrufs auf θ/2 zu nutzen, lässt Studierende das JSON mit den von Hand geschriebenen Radikalen vergleichen und liefert zugleich vorzeichenrichtige Werte für Vektoren, Zeiger und geometrische Konstruktionen, die davon abhängen, auf welcher Seite einer Achse die Halbdrehung liegt.
Wie Sie den Rechner aufrufen und die drei Ergebnisse lesen
Auf dieser Seite gibt es keinen Einheitsschalter: Der Vertrag gilt nur in Grad, passend zur Suchabsicht von Lernenden, die einen Lehrbuchwinkel wie sechzig, neunzig oder zweihundertsiebzig eingeben und Sinus, Kosinus und Tangens des Halbwinkels zurückerwarten. Ergänzen Sie die Antwort um eine eigene Skizze des Einheitskreises, wenn Sie eine Zeichnung brauchen; dieser Endpunkt liefert die drei numerischen Halbwinkelwerte und emittiert weder Plots noch Schritt-für-Schritt-Prosa. Senden Sie einen JSON-Körper mit einem einzigen Pflichtfeld namens angle, einer endlichen Gradzahl. Die Aliasse theta und value werden akzeptiert, damit Formulare, Tabellen und Abfragezeichenketten denselben Vertrag nutzen. Ziffernketten, die zu endlichen Zahlen parsen, sind erlaubt; fehlende Felder, leere Zeichenketten, NaN, Infinity, Objekte, Arrays und andere nichtnumerische Typen scheitern mit invalid_input und benennen das Problem; diese Fehler werden nicht berechnet. Bei Erfolg spiegelt das JSON den Eingabewinkel, meldet half_angle als θ/2 in Grad und gibt sin_half, cos_half und — sofern definiert — tan_half zurück, plus ein boolesches tan_defined, damit Clients einen ausgelassenen Tangens nicht als null behandeln. Ein typischer Aufruf mit angle neunzig liefert half_angle fünfundvierzig und das vertraute Paar √2/2, √2/2, Tangens eins. Ein Aufruf mit angle zweihundertsiebzig liefert half_angle einhundertfünfunddreißig, positiven Sinus, negativen Kosinus und Tangens minus eins — die vorzeichenbehaftete Prüfung des zweiten Quadranten, die Hausaufgabenschlüssel mit vorzeichenlosen Radikalen oft verfehlen. Der Preis für einen erfolgreichen API-Aufruf ist pauschal $0.002 unter der Einheit item.
Vorzeichen, undefinierter Tangens, Präzision und der Platz dieser API
Ist cos θ nahezu minus eins und sin θ nahezu null, wird tan(θ/2) als undefiniert gemeldet: tan_defined ist false und tan_half entfällt, weil θ/2 ein ungerades Vielfaches von neunzig Grad ist und eine unendliche Steigung nicht wie eine endliche Antwort aussehen darf. Verwandte Suchabsichten wie Doppelwinkelformeln, ein voller sin/cos/tan eines Winkels ohne Halbierung oder Polarumrechnungen sind eigene Seiten; diese widmet sich Sinus, Kosinus und Tangens des Halbwinkels aus einem einzigen endlichen Winkel in Grad.
Integrationsbeispiele
CI-Fixtures für Trigonometriebibliotheken
Pipelines frieren JSON-Goldenausgaben für positive und negative Halbwinkel ein, damit eine spätere Umstrukturierung Vorzeichen nicht still umdrehen kann.
Technische Fragen
Wie berechnet man sin, cos und tan der Hälfte eines Winkels in Grad?
Senden Sie eine endliche Zahl im Feld angle (Aliasse theta und value werden akzeptiert) oder nutzen Sie das kostenlose Browserformular. Die Antwort enthält sin_half, cos_half und tan_half mit quadrantengerechten Vorzeichen.
Ist das Browser-Werkzeug zur Halbwinkelformel kostenlos?
Ja. Der Runner im Browser nutzt dieselbe Bibliothek wie die API und kostet nichts. Die API berechnet $0.002 je erfolgreicher Anfrage vom vorausbezahlten KIT-Guthaben; ungültige Eingaben werden nicht berechnet.