Summen- und Differenzwinkelformeln: sin cos tan von a±b, gratis
Kombinieren Sie zwei Winkel ohne Raten: 30° und 45° ergeben die Summe 75° und die Differenz −15°, jeweils mit Sinus, Kosinus und Tangens. Existiert der Tangens des Ergebnisses nicht, erfahren Sie das. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Erstes Winkelmass
- 30
- Zweites Winkelmass
- 45
- Operation (Art)
- both degrees
- A in Grad
- 30
- B in Grad
- 45
- A in Radiant
- 0,5235987756
Die Summen- und Differenzwinkelformeln sind der klassische Weg, Sinus, Kosinus und Tangens eines kombinierten Winkels auszuwerten, ohne zuerst auf dem Rechner zu addieren oder zu subtrahieren und dann eine einzelne Trig-Taste zu druecken. Bei zwei endlichen Massen a und b liefert dieser Rechner sin(a+b), cos(a+b) und tan(a+b) sowie optional dasselbe Trio fuer a−b, indem er die klassischen Produktformen entfaltet: der Sinus einer Summe ist sin a cos b plus cos a sin b, der Kosinus einer Summe ist cos a cos b minus sin a sin b, und die Differenzformeln kehren die inneren Vorzeichen um.
Wie die Summen- und Differenzidentitaeten funktionieren
Beginnen Sie mit zwei reellen Winkeln a und b in derselben Einheit. Wandeln Sie beide zur Auswertung in Radiant um, falls der Aufrufer Grad gesendet hat, und berechnen Sie sin a, cos a, sin b und cos b einmal. Die Summenidentitaeten besagen, dass sin(a+b) gleich sin a cos b plus cos a sin b ist und cos(a+b) gleich cos a cos b minus sin a sin b.
Die Differenzidentitaeten nutzen dieselben Produkte mit Vorzeichenwechsel bei den gemischten Termen: sin(a−b) gleich sin a cos b minus cos a sin b, und cos(a−b) gleich cos a cos b plus sin a sin b. Der Tangens des kombinierten Winkels ist dann das Verhaeltnis des entsprechenden Sinus zum Kosinus, definiert nur wenn der Kosinus nicht null ist. Diese geometrische Bedingung bedeutet, dass a+b oder a−b kein ungerades Vielfaches von neunzig Grad (oder von π/2 in Radiant) ist.
Die Sinus-ueber-Kosinus-Form nach den Identitaeten statt der Lehrbuch-Tan-Formel, die durch eins minus tan a tan b teilt, vermeidet Fehlschlaege, wenn ein Einzelwinkel auf einer vertikalen Asymptote sitzt, waehrend der kombinierte Winkel wohldefiniert bleibt. Da der Pfad nur Gleitkomma-Sinus, -Kosinus, Multiplikation und Addition nutzt, ist er vollstaendig deterministisch: dasselbe Zahlenpaar liefert stets dieselben gerundeten Komponenten und kombinierten Werte innerhalb gewoehnlicher Doppelpraezision. Es gibt kein Sampling, keinen Zufallsseed und keinen Netzaufruf — nur Validierung und reine Trigonometrie.
Was Sie senden und was Sie zurueckbekommen
Setzen Sie optional unit auf degrees (Standard) oder radians; Kurzformen deg und rad werden akzeptiert und der Abgleich ist gross-/kleinschreibungsunabhaengig. Setzen Sie optional operation auf sum, difference oder both (Standard); Synonyme plus, minus und all werden akzeptiert. Klassischer Check: dreissig Grad und fuenfundvierzig Grad ergeben sin von fuenfundsiebzig Grad etwa null Punkt neun sechs sechs und tan von minus fuenfzehn Grad etwa minus null Punkt zwei sechs acht.
Nur sum fuer sechzig Grad plus dreissig scheitert, weil cos von neunzig null ist und tan undefiniert. Verdrahten Sie das kostenlose Browser-Werkzeug fuer schnelle Hausaufgabenpruefungen und rufen Sie denselben Vertrag aus Skripten auf, wenn Sie massenhafte Identitaetsauswertung brauchen, ohne die Entwicklungen in jeder Sprache neu zu implementieren.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben- und Pruefungschecks
Entfalten Sie sin, cos und tan von a+b oder a−b mit den klassischen Identitaeten und pruefen Sie gegen bekannte exakte Werte wie dreissig und fuenfundvierzig Grad.
Phasen- und Kurskombination
Kombinieren Sie zwei Orientierungs- oder Phasenwinkel und erhalten Sie Sinus und Kosinus der Summe oder Differenz fuer Grafik-, Audio- oder Navigationspipelines.
Häufige Fragen
Welche Formeln verwendet dieser Rechner?
Er nutzt die klassischen Summen- und Differenzwinkelformeln: sin(a±b) = sin a cos b ± cos a sin b und cos(a±b) = cos a cos b ∓ sin a sin b. Tangens ist Sinus des kombinierten Winkels geteilt durch dessen Kosinus.
Akzeptiert er Radiant ebenso wie Grad?
Ja. Setzen Sie unit auf "radians" (oder "rad"). Die Standardeinheit ist degrees. Die Antwort enthaelt stets Grad- und Radiantfelder fuer jede Eingabe und jeden kombinierten Winkel.
Wann ist der Tangens undefiniert?
Wenn der Kosinus von a+b oder a−b null ist (der kombinierte Winkel ist ungerades Vielfaches von 90° oder π/2). Beispiel: 60° + 30° = 90°, daher ist tan undefiniert.
Kann ich nur die Summe oder nur die Differenz berechnen?
Ja. Setzen Sie operation auf "sum" oder "difference". Der Standard ist "both", das sum- und difference-Objekte in einer Antwort liefert (und scheitert, wenn ein Tangens undefiniert ist).
Warum gibt es für 60 plus 30 Grad keinen Tangens?
Weil die Summe 90° beträgt und der Kosinus von 90° null ist. Der Tangens wäre eine Division durch null, deshalb meldet der Rechner einen klaren Fehler statt einer unendlich großen Zahl.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/sum-difference \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":30,"b":45}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/sum-difference", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 30,
"b": 45
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/trig/sum-difference",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 30,
"b": 45
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/sum-difference", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":30,"b":45}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":30,"b":45}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/sum-difference", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 30,
"b": 45
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "trig.sum_difference",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Wenn ein resultierender Tangens undefiniert ist —weil der Kosinus des kombinierten Winkels null ist— scheitert die Anfrage mit invalid_input statt Infinity oder NaN zu erfinden. Das kostenlose Browser-Werkzeug und die bezahlte API teilen eine reine Funktion, sodass Demos und automatisierte Skripte bei jedem Beispiel abgestimmt bleiben.
Was Sie senden und was Sie zurueckbekommen
Liefern Sie zwei erforderliche endliche Zahlen unter den Feldern a und b, mit Alias angle_a, alpha, first fuer a und angle_b, beta, second fuer b. Fehlende Felder, leere Zeichenketten, nichtnumerischer Text, NaN und Infinity werden mit invalid_input abgelehnt und nicht berechnet. Bei Erfolg wiederholt die JSON-Antwort a, b, unit und operation; meldet a_degrees, b_degrees, a_radians und b_radians; liefert components mit sin_a, cos_a, sin_b und cos_b; setzt method auf die Zeichenkette angle_sum_difference_identities; und enthaelt fuer jede angeforderte Kombination ein sum- und/oder difference-Objekt mit angle_degrees, angle_radians, sin, cos und tan.
Wo Summen- und Differenzformeln in der Praxis vorkommen
Vermessung und Navigation kombinieren Kursversatze; Audio und Signalverarbeitung addieren Phasenwinkel; Spiel-Engines und CAD-Pipelines drehen Orientierungen in aufeinanderfolgenden Schritten und brauchen trotzdem exakten Sin und Cos des kombinierten Masses fuer Basisvektoren. Wenn Sie spaeter einen einzelnen Referenzwinkel, den Arkus-Kosinus eines Verhaeltnisses, Winkelaufloesung per Kosinussatz oder einen vollstaendigen Rechtwinkligen-Dreieck-Solver brauchen, behandeln Sie diese Suchabsichten separat, statt diese Summen-Differenz-Seite zu ueberladen. Sekundar- und Hochschulkurse in Trigonometrie verlangen staendig, sin von a plus b oder cos von a minus b ohne Rechner zu entfalten und den Zahlenwert gegen eine Tabelle zu pruefen; eine vertrauenswuerdige API mit strengem undefiniertem-Tangens-Tor beschleunigt die Bewertung und entfernt Tabellenkalkulationsfehler, bei denen jemand durch einen fast nullen Kosinus teilt. Weil diese Faehigkeit eine reine parse-Engine ist, betraegt der API-Preis die veroeffentlichte Basis von $0.002 pro erfolgreichem Item und fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet.
Integrationsbeispiele
Deterministische Test-Fixtures
Erzeugen Sie stabile Summen- und Differenz-Identitaets-Fixtures fuer Unit-Tests und Dokumentation mit derselben reinen Funktion in Browser und API.
Technische Fragen
Was kostet es?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos und laeuft lokal. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Item; ungueltige Eingabe wird nicht berechnet.