Halbwinkel-Rechner: sin, cos, tan mit korrekten Vorzeichen

Halbwinkelformeln kommen immer dann ins Spiel, wenn Sie den Sinus, Kosinus oder Tangens von θ/2 benötigen, ohne eine vollständige Trigonometriebibliothek allein auf dem halbierten Wert aufzurufen – etwa beim Prüfen von Lehrbuchaufgaben, beim Reduzieren von Mehrwinkelausdrücken oder beim Nachweis, dass ein atan2-Pfad in der Firmware mit den geschlossenen Identitäten übereinstimmt. Diese Fähigkeit nimmt einen vollen Winkel θ in Grad oder Bogenmaß entgegen, wendet die klassischen Identitäten sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ)/2), cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2) und tan(θ/2) = sin θ/(1 + cos θ) an und wählt jedes Vorzeichen aus dem Quadranten des tatsächlichen Halbwinkels, sodass die Ergebnisse der geometrischen Halbdrehung entsprechen und nicht einem vorzeichenlosen Radikal.

Was die Halbwinkelidentitäten berechnen

Bei bekanntem vollem Winkel θ drücken die Halbwinkelidentitäten die trigonometrischen Funktionen von θ/2 durch cos θ und sin θ aus. Die Sinus- und Kosinusformen verwenden Quadratwurzeln aus (1 − cos θ)/2 bzw. (1 + cos θ)/2, die stets nicht-negative Beträge liefern; das korrekte algebraische Vorzeichen darf man nicht frei erfinden – es muss mit dem Quadranten übereinstimmen, in dem der Halbwinkel tatsächlich liegt. Ist etwa θ = 270°, dann ist θ/2 = 135°, was im zweiten Quadranten liegt, also ist sin(θ/2) positiv, cos(θ/2) negativ und tan(θ/2) folglich negativ.

Ein Rechner, der nur die positive Quadratwurzel zurückgibt, sieht bei spitzen Hausaufgaben im ersten Quadranten richtig aus und wird falsch, sobald der Halbwinkel in einen anderen Sektor der Ebene übergeht. Die Tangens-Halbwinkelformel tan(θ/2) = sin θ/(1 + cos θ) (oder die Begleitform (1 − cos θ)/sin θ, wenn der erste Nenner verschwindet) trägt das Vorzeichen in fast allen Fällen automatisch, und dieses Werkzeug greift sorgfältig auf einen Ersatz zurück, wenn θ ein ungerades Vielfaches von π ist, wo tan(θ/2) undefiniert ist.

Die Identitäten zu nutzen, statt lediglich sin(θ/2) isoliert aufzurufen, ist didaktisch wertvoll: Studierende und Prüfende sehen, dass das Ergebnis mit der von Hand geschriebenen Radikalform übereinstimmt, und erhalten zugleich die technisch korrekten vorzeichenbehafteten Werte, die sie für Vektoren, Zeiger und geometrische Konstruktionen brauchen.

Vorzeichen, undefinierter Tangens, Präzision und Grenzen

Die Vorzeichenwahl wird durch den normalisierten Halbwinkel in (−π, π] gesteuert: Der Sinus ist in der oberen Halbebene dieses Intervalls nicht-negativ und der Kosinus in der rechten Halbebene, gemäß den üblichen Einheitskreis-Konventionen. Die Beträge stammen weiterhin aus den Halbwinkel-Radikalen, damit Gleitkomma-Pfade selbst dann mit den Lehrbuchidentitäten übereinstimmen, wenn ein zwischenzeitliches cos θ durch Rundung leicht außerhalb von [−1, 1] liegt – Werte unter der Quadratwurzel werden bei null abgeschnitten. Wenn cos θ nahezu −1 und sin θ nahezu 0 ist, wird tan(θ/2) als undefiniert gemeldet statt als riesige zufällige Zahl.

Es gibt keine Netzwerkabfrage, keine Zufallsstichprobe und keine Abhängigkeit von der Systemuhr: Identische Eingaben erzeugen stets identische Ausgaben, was die Fähigkeit für Unit-Tests, CI-Pipelines und Offline-Arbeitsblätter sicher macht.