ForHosting KIT · 数学

円弧のサジッタ計算

半径と中心角だけで円弧の高さが分かります。半径10、中心角90°なら矢高は約2.9289です。同じ単位で弦の長さも表示されるので、材料を切る前や型紙を据える前の確認に役立ちます。ブラウザで無料で使えます。

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計算例

入力した場合

半径: 10
角度: 90

結果

角度の単位: Degrees
角度 (rad): 1.5707963268
角度 (°): 90
矢高: 2.9289321881

サジッタ（矢高）は円弧の立ち上がり、すなわち弦の中点から円弧まで、円の中心方向の垂線に沿った直線距離です。建築家、木工・金属加工の職人、測量技術者、学生は開口・アーチ・フィレットの設計半径と中心角を知っていても、材料を切る前・型紙を据える前・ヴォールト下のクリアランスを確認する前にその高さが必要になります。本円弧サジッタ計算は正の半径と度またはラジアンの中心角を受け取り、サジッタ＝半径×（1−半角の余弦）という閉形式を適用し、高さとともに対応する弦長と角度換算を返します。角がゼロなら高さはゼロ、百八十度の半円ならサジッタは半径と一致し、三百六十度の一周では弦は点に縮みサジッタは直径になります。

サジッタの意味と半角公式の仕組み

円の中心から弧の両端を結ぶ弦へ垂線を下ろします。その直線は中心角を二つの等しい半角に二等分し、弦を二つの等しい半弦に二等分します。半径・半弦・中心から弦への距離からなる直角三角形では、半角に隣接する辺は半径×中心角の半分の余弦です。

したがって θ をラジアンで測るとき、中心から弦までの距離は r cos(θ/2) です。サジッタ——弦からセグメントの近い側の弧までの残り——は半径からその距離を引いた値、すなわち r マイナス r cos(θ/2) であり、きれいに r×(1−cos(θ/2)) に因数分解されます。

同様に半弦は r sin(θ/2) なので全弦は 2r sin(θ/2) です。半径と弦からピタゴラス形のセグメント高さツールで同じ高さを復元することもできますが、本機能は角から始まるため弦を先に測る必要がありません。中心角がゼロのとき cos 0 は 1 でサジッタは 0 です。

百八十度では半角が九十度、余弦は 0、サジッタは半径に等しく半円弧になります。角が三百六十度に近づくと半角は百八十度に近づき、余弦は −1 に近づき、サジッタは半径の 2 倍に近づき弦は点に縮みます。単位は同次です。ミリメートル・インチ・メートルはいずれも、半径と返されるサジッタおよび弦が同じ長さ単位を共有する限り使えます。

応答は常に与えられた中心角が張る弧のこの幾何学的高さを報告し、補角を意図的に送らない限り大セグメントの補完高さには切り替えません。

角から求めるサジッタ計算が役立つ場面

金属・木工の現場では、図面上の既知の設計半径と既知の中心角から治具・型紙・CNC 取りしろの曲線立ち上がりを得るときに円弧サジッタ計算を使います。土木・建築のノートはアーチの設計角と半径をクラウン高さに変換し、打設や建方の前にヴォールト下や道路曲線のクリアランスが正しいことを確認します。

光学・機械設計者は試作品で物理的な弦を測らずに、角開口から円分ギャップやレンズ縁の落ち込みを寸法決めします。教室の三角法や入学試験対策には、半角余弦形を返し、不可能な負角や零・負の半径を拒否する決定論的オラクルが必要で、不正な採点器が成功とみなしがちな静かな NaN では不十分です。検証失敗は残高を消費しません。

活用例

現場の型紙と CNC 矢高

図面上の既知の弧半径と中心角からサジッタを求め、材料を切る前に木工・金属の型紙が意図した曲線立ち上がりに一致するようにします。

アーチとヴォールトのクラウン高さ

設計半径と中心角をセグメント高さに変換し、施工前にヴォールト下クリアランス、アーチクラウン、道路曲線の型枠を決めます。

教室と試験採点

半径と角から円弧サジッタを扱う宿題確認・自動採点に、無効な半径や範囲外の角を拒否する決定論的オラクルを使います。

よくある質問

サジッタと弦から求めるセグメント高さの違いは何ですか？

どちらも円分の同じ幾何学的矢高を表します。本ツールは半径と中心角から始めます。弦ベースのセグメント高さツールは半径と測った弦長から h = r − √(r² − (c/2)²) を使います。すでにある入力の組を使ってください。

0°・180°・360° ではどうなりますか？

角 0 では sagitta 0・chord 0 です。半円（180° または π rad）ではサジッタは半径、弦は直径です。一周（360° または 2π）ではサジッタは直径、弦は 0 です。

半径と角度から矢高はどう計算しますか？

半径に「1から中心角の半分のコサインを引いた値」を掛けます。半径10、中心角90°なら半分は45°で、矢高は半径と同じ単位で約2.9289になります。

弦の長さも分かりますか？

はい。矢高と一緒に、半径の2倍に中心角の半分のサインを掛けた弦の長さを表示します。同じ2つの値から求めるので、先に弦を測る必要はありません。

どの長さの単位で入力できますか？

ミリメートル、インチ、メートルなど、どの単位でも使えます。半径に使った単位が、そのまま矢高と弦の単位になります。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/trig/sagitta

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/trig/sagitta \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"radius":10,"angle":90}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/trig/sagitta", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "radius": 10,
    "angle": 90
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/trig/sagitta",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "radius": 10,
    "angle": 90
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/trig/sagitta", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"radius":10,"angle":90}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"radius":10,"angle":90}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/trig/sagitta", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "radius": 10,
  "angle": 90
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "trig.sagitta",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

無効な半径、負の角、単純な弧の範囲外の角は複素数結果を捏造せず invalid_input で拒否します。

入力契約、応答形、エラー時の振る舞い

省略時の既定は degrees で、radians に設定できます。度モードでは角は 0 以上 360 以下、ラジアンモードでは 0 以上 2π 以下とし、要求が単純な円弧を表し多重巻きを表さないようにします。例：半径 10・角 90 度なら、90 の半分は 45 であり 10×(1−cos 45°)＝10×(1−√2/2) なのでサジッタは約 2.9289 です。半径 5・角 180 度ならサジッタはちょうど 5。半径 1・角 π ラジアンならサジッタは 1。スケッチが必要なら自前の製図コードと組み合わせてください。必須の有限数二つと任意の単位文字列一つを含む JSON 本体を POST してください。フィールド radius は公開限界内の正の円半径です。フィールド angle は非負の中心角で、単位は angle_unit が制御します。各数値フィールドは JSON 数または数値文字列でよく、欠落・空文字・非有限値・非正の半径・負の角・単純弧ドメイン外の角・未知の angle_unit トークンは問題を名指しして invalid_input になります。これらの検証失敗は課金されません。成功時の本体にはエコーされた radius と angle、解決済みの angle_unit、単位非依存クライアント向けの angle_radians と angle_degrees、主結果の sagitta、その別名 height、弧端点間の直線距離 chord、method としての sagitta_from_angle、閉形式を再掲する formula 文字列が含まれます。本エンドポイントは構造化幾何のみを返し、プロットや CAD パスは出力しません。

角から求めるサジッタ計算が役立つ場面

実装が純粋 parse ティア A であるため、成功呼び出しは毎回公開基本料金 $0.002 で、モデルトークンも外向きネットワークもありません。リクエストを小さく保ち、テストで丸め済みサジッタを固定すれば、自前の計算機代数スタックを立てずに現場・LMS プラグイン・エッジワーカー向けの再現可能な弧高が得られます。

技術的な質問

半径と中心角から円弧のサジッタはどう計算しますか？

正の半径と非負の中心角を送ってください（既定は度、angle_unit でラジアン可）。API は θ をラジアンとして sagitta = r × (1 − cos(θ/2)) と弦長 2r sin(θ/2) を返します。

角をラジアンで入力できますか？

はい。angle_unit を radians にしてください（別名 unit と angle_mode も有効）。ラジアンモードでは角は 0 以上 2π 以下です。angle_unit を省略すると度が既定のままです。

成功した API 呼び出しの料金はいくらですか？

成功した呼び出しは毎回、公開基本料金 $0.002 で請求されます。無効な入力は課金されません。無料ブラウザウィジェットは同じ純粋モジュールを使い、API 残高を消費しません。

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角から求めるサジッタ計算が役立つ場面

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アーチとヴォールトのクラウン高さ

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関連ツール

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エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

入力契約、応答形、エラー時の振る舞い

角から求めるサジッタ計算が役立つ場面

技術的な質問

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