Sagitta eines Kreisbogens

Die Sagitta ist die Pfeilhöhe eines Kreisbogens: der geradlinige Abstand vom Mittelpunkt der Sehne zum Bogen entlang der Senkrechten zum Kreismittelpunkt. Architekten, Schreiner, Metallbauer, Vermesser und Studierende kennen oft den Entwurfsradius und den Zentriwinkel einer Öffnung, eines Bogens oder einer Hohlkehle, brauchen aber diese Höhe, bevor sie Material zuschneiden, eine Schablone setzen oder die Durchfahrt unter einem Gewölbe prüfen. Dieser Sagitta-Rechner für Kreisbogen nimmt einen positiven Radius und einen Zentriwinkel in Grad oder Radiant, wendet die geschlossene Identität Sagitta gleich Radius mal eins minus Kosinus des halben Winkels an und liefert die Höhe zusammen mit der passenden Sehnenlänge und den Winkelumrechnungen. Ein Nullwinkel ergibt Höhe null; ein Halbkreis von einhundertachtzig Grad ergibt eine Sagitta gleich dem Radius; ein voller Umlauf von dreihundertsechzig Grad lässt die Sehne auf einen Punkt schrumpfen und die Sagitta zum Durchmesser.

Was Sagitta bedeutet und wie die Halbwinkelformel funktioniert

Fällen Sie eine Senkrechte vom Kreismittelpunkt auf die Sehne, die die beiden Endpunkte eines Bogens verbindet. Diese Gerade halbiert den Zentriwinkel in zwei gleiche Halbwinkel und die Sehne in zwei gleiche Halbsehnen. Im rechtwinkligen Dreieck aus Radius, Halbsehne und der Strecke vom Mittelpunkt zur Sehne ist die dem Halbwinkel anliegende Kathete der Radius mal Kosinus des halben Zentriwinkels.

Der Abstand vom Mittelpunkt zur Sehne ist daher r cos(θ/2), wenn θ im Bogenmaß gemessen wird. Die Sagitta — der verbleibende Abstand von der Sehne zum Bogen auf der nahen Seite des Segments — ist der Radius minus dieser Distanz: Sagitta gleich r minus r cos(θ/2), was sauber zu r mal eins minus Kosinus von θ durch zwei faktorisiert.

Äquivalent ist die Halbsehne r sin(θ/2), sodass die volle Sehne zwei r sin(θ/2) beträgt; Sie können dieselbe Höhe aus Radius und Sehne mit der pythagoreischen Form der Segmenthöhen-Werkzeuge gewinnen, aber diese Fähigkeit startet vom Winkel, sodass Sie die Sehne nicht zuerst messen müssen. Ist der Zentriwinkel null, ist der Kosinus von null eins und die Sagitta null. Bei einhundertachtzig Grad ist der Halbwinkel neunzig Grad, der Kosinus null und die Sagitta gleich dem Radius — ein halbkreisförmiger Bogen.

Nähert sich der Winkel dreihundertsechzig Grad, nähert sich der Halbwinkel einhundertachtzig Grad, der Kosinus minus eins und die Sagitta dem doppelten Radius, während die Sehne gegen einen Punkt schrumpft. Einheiten sind homogen: Millimeter, Zoll oder Meter funktionieren, solange Radius sowie gelieferte Sagitta und Sehne dieselbe Längeneinheit teilen. Die Antwort meldet stets diese geometrische Höhe für den Bogen, der den gelieferten Zentriwinkel aufspannt; sie wechselt nicht zur komplementären Höhe des großen Segments, es sei denn, Sie senden bewusst den Komplementärwinkel.

Wo ein Sagitta-Rechner aus dem Winkel seinen Nutzen bringt

Metall- und Holzwerkstätten nutzen einen Sagitta-Rechner für Kreisbogen, wenn ein bekannter Entwurfsradius und ein bekannter Zentriwinkel auf einer Zeichnung die Pfeilhöhe der Kurve für Vorrichtungen, Schablonen und CNC-Materialzugaben liefern müssen. Zivil- und Architekturunterlagen wandeln Bogen-Entwurfs-Winkel und -Radien in Scheitelhöhe um, damit die Durchfahrt unter einem Gewölbe oder einer Straßenkurve vor dem Gießen oder Montieren stimmt. Optik- und Maschinenkonstrukteure bemessen Kreissegment-Lücken und Linsenrandabfälle aus Winkelaperturen, ohne zuerst eine physische Sehne am Prototyp zu messen.

Schultrigonometrie und Aufnahmeprüfungsvorbereitung brauchen ein deterministisches Orakel, das die Halbwinkel-Kosinusform liefert und unmögliche negative Winkel oder null- oder negative Radien ablehnt statt stiller NaN-Werte, die ein fehlerhafter Bewerter als Erfolg werten könnte. Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Halten Sie Anfragen klein, pinnen Sie die gerundete Sagitta in Tests und Sie erhalten reproduzierbare Bogenhöhen für Werkstatt, LMS-Plugins und Edge-Worker, ohne einen vollständigen Computer-Algebra-Stack aufzubauen.