Sagitta-Rechner

Die Sagitta eines Kreisbogens ist die senkrechte Höhe vom Mittelpunkt der Sehne bis zum Bogen selbst — die Stichhöhe des Segments, der Pfeil der Kurve, die Versinus-Höhe, die Architekten, Maschinenbauer, Vermesser und Geometriestudierende immer wieder entdecken, sobald sie einen Radius und einen Halbwinkel in eine einzige Länge verwandeln. Bei positivem Kreisradius r und Halbwinkel α (der Hälfte des vom Bogen unterspannten Zentriwinkels) ist die geschlossene Form elementar und exakt: s entspricht r mal eins minus dem Kosinus von α, also auch r mal dem Versinus von α. Die Ergebnisse umfassen Sagitta- und Versinuswerte sowie Sehnenlänge, Abstand vom Mittelpunkt zur Sehne und den vollen Zentriwinkel in Grad und Radiant zum Abgleich mit Lehrbuchfiguren.

Was die Sagitta bedeutet und wie die Versinus-Formel arbeitet

Zeichnen Sie einen Kreis mit Radius r und markieren Sie zwei Punkte auf dem Umfang, die im Mittelpunkt einen Zentriwinkel θ aufspannen. Die gerade Strecke zwischen diesen Punkten ist die Sehne; der Bogen dazwischen ist der Kreisbogen; der senkrechte Abstand vom Sehnenmittelpunkt zum Bogen ist die Sagitta. Aus Symmetriegründen ist die Gerade vom Mittelpunkt durch den Sehnenmittelpunkt zugleich die Winkelhalbierende des Zentriwinkels, sodass jede Seite der Figur ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse r und Scheitel-Halbwinkel α gleich θ durch zwei ist.

Die Ankathete dieses rechtwinkligen Dreiecks ist r mal Kosinus von α, also der Abstand vom Mittelpunkt zur Sehne. Zieht man diesen Abstand vom Radius ab, bleibt die Sagitta: s gleich r minus r Kosinus α, was sich als r mal eins minus Kosinus α faktorisieren lässt. Die trigonometrische Funktion eins minus Kosinus ist der klassische Versinus, daher heißt die Sagitta oft Versinus-Höhe des Bogens: s gleich r mal versin von α.

Ist α null, kollabiert die Sehne zu einem Punkt und die Sagitta ist null; bei α gleich neunzig Grad entspricht die Sehne einem Durchmesser-Halbwinkel und die Sagitta dem vollen Radius; ein Halbwinkel von neunzig Grad liefert bereits s gleich r. Die Formel nutzt nach einer optionalen Grad-zu-Radiant-Umwandlung nur eine Kosinusauswertung, sodass es keine Iteration, keine Stichproben, keine Uhrzeitabhängigkeit und keinen Bedarf an Koordinaten oder einem Bogenlängenintegral in der Eingabe gibt.

Die Sehnenlänge folgt sogleich als zwei r Sinus α, und die Produktidentitäten erlauben es Lernenden, jedes Feld von Hand für angenehme Halbwinkel wie dreißig, fünfundvierzig und sechzig Grad nachzurechnen.

Praktische Tipps, Grenzen und Unterschiede zu verwandten Werkzeugen

Der Halbwinkel darf jeder endliche reelle Wert sein; der Kosinus ist gerade, daher liefert ein negativer Halbwinkel dieselbe Sagitta-Magnitude wie der Betrag — nützlich, wenn ein CAD-Export den Halbwinkel nach Orientierung vorzeichnet. Beim Unterrichten bevorzugen Sie gepaarte Beispiele: Radius zehn und dreißig Grad für die gleichseitige Sehnenprüfung gegen eins minus Wurzel drei durch zwei; Radius eins und sechzig Grad für eine kurze Stichhöhe, die Lernende mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner nachrechnen können; und einen negativen Radius, um den harten Ablehnungspfad dieses Produktvertrags zu zeigen.

Weil die primäre Identität nur r und α braucht, können Lernende außerhalb dieses Endpunkts nach dem Radius umstellen, wenn Sagitta und Halbwinkel bekannt sind, oder α mit einem Arkuskosinus lösen — dieses Werkzeug invertiert absichtlich nicht. Diese Landing zielt auf Personen, die nach einem Sagitta-Rechner oder einem Versinus-Höhen-Werkzeug für Kreisbögen suchen; es ist kein Sehnenlängenrechner (auch wenn die Sehnenlänge als Komfortfeld zurückkommt), kein Kreissegmentflächen-Werkzeug und kein Bogenlängen- oder Sektorflächen-Löser — nutzen Sie die dedizierten Fähigkeiten, wenn jene Größen die primäre Suchabsicht sind.

Bevorzugen Sie diese Seite, wenn Sie Radius und Halbwinkel bereits kennen und die Bogenhöhe brauchen.