Calculateur de sagitta

La sagitta d'un arc circulaire est la hauteur perpendiculaire du milieu de la corde jusqu'à l'arc lui-même — la montée du segment, la flèche de la courbe, la hauteur en versinus que les architectes, usineurs, géomètres et étudiants en géométrie redécouvrent chaque fois qu'ils transforment un rayon et un demi-angle en une seule longueur. Étant donné un rayon de cercle positif r et un demi-angle α (la moitié de l'angle au centre sous-tendu par l'arc), la forme fermée est élémentaire et exacte : s égale r fois un moins le cosinus de α, ce qui est aussi r fois le versinus de α. Les résultats incluent les valeurs de sagitta et de versinus, plus la longueur de corde, la distance du centre à la corde et l'angle au centre complet en degrés et en radians pour recouper les schémas de manuel.

Ce que signifie la sagitta et comment la formule du versinus fonctionne

Tracez un cercle de rayon r et marquez deux points sur la circonférence qui sous-tendent un angle au centre θ au centre. Le segment droit joignant ces points est la corde ; l'arc entre eux est l'arc circulaire ; la distance perpendiculaire du milieu de la corde jusqu'à l'arc est la sagitta.

Par symétrie, la droite du centre par le milieu de la corde est aussi la bissectrice de l'angle au centre, de sorte que chaque côté de la figure est un triangle rectangle d'hypoténuse r et de demi-angle au sommet α égal à θ sur deux. Le côté adjacent de ce triangle rectangle est r fois le cosinus de α, ce qui est la distance du centre à la corde.

Soustraire cette distance du rayon laisse la sagitta : s égale r moins r cosinus α, qui se factorise en r fois un moins cosinus α. La fonction trigonométrique un moins cosinus est le versinus classique, aussi la sagitta est souvent appelée hauteur en versinus de l'arc : s égale r fois versin de α.

Lorsque α vaut zéro la corde s'effondre en un point et la sagitta vaut zéro ; lorsque α vaut quatre-vingt-dix degrés la corde correspond à un demi-angle de diamètre et la sagitta égale le rayon entier ; un demi-angle de quatre-vingt-dix degrés redonne déjà s égal à r. La formule n'utilise qu'une évaluation de cosinus après une conversion facultative degrés vers radians, de sorte qu'il n'y a ni itération, ni échantillonnage, ni dépendance à l'horloge, ni besoin de coordonnées ou d'une intégrale de longueur d'arc en entrée.

La longueur de corde suit aussitôt comme deux r sinus α, et les identités produit permettent aux élèves de recalculer chaque champ à la main pour de jolis demi-angles comme trente, quarante-cinq et soixante degrés.

Conseils pratiques, limites et différences avec les outils voisins

Le demi-angle peut être n'importe quelle valeur réelle finie ; le cosinus est pair, donc un demi-angle négatif donne la même magnitude de sagitta que sa valeur absolue, ce qui est utile lorsqu'un export CAO signe le demi-angle selon l'orientation.

En enseignement, préférez des exemples appariés : rayon dix et trente degrés pour le contrôle de corde équilatérale face à un moins racine de trois sur deux ; rayon un et soixante degrés pour une petite flèche que les élèves peuvent recalculer sur une calculatrice scientifique ; et un rayon négatif pour démontrer le chemin de rejet dur exigé par ce contrat produit.

Comme l'identité principale n'a besoin que de r et α, les apprenants peuvent réarranger pour le rayon lorsque sagitta et demi-angle sont connus, ou résoudre α avec un arccosinus, hors de ce point d'entrée — cet outil n'inverse volontairement pas.

Cette page cible les personnes qui cherchent un calculateur de sagitta ou un outil de hauteur en versinus d'arc circulaire ; ce n'est pas un calculateur de longueur de corde (même si la longueur de corde est renvoyée par commodité), ni un outil d'aire de segment circulaire, ni un solveur de longueur d'arc ou d'aire de secteur — utilisez les capacités dédiées lorsque ces grandeurs sont l'intention de recherche principale. Préférez cette page lorsque vous connaissez déjà le rayon et le demi-angle et avez besoin de la flèche de l'arc.