Calculadora de sagitta

La sagitta de un arco circular es la altura perpendicular desde el punto medio de la cuerda hasta el propio arco: el alzado del segmento, la flecha de la curva, la altura verseno que arquitectos, maquinistas, topógrafos y estudiantes de geometría redescubren cada vez que convierten un radio y un semiángulo en una sola longitud. Dado un radio de círculo positivo r y un semiángulo α (la mitad del ángulo central subtendido por el arco), la forma cerrada es elemental y exacta: s igual a r por uno menos el coseno de α, que también es r por el verseno de α. Los resultados incluyen los valores de sagitta y verseno, más la longitud de la cuerda, la distancia del centro a la cuerda y el ángulo central completo en grados y radianes para contrastar con diagramas de libro de texto.

Qué significa la sagitta y cómo funciona la fórmula del verseno

Dibuje un círculo de radio r y marque dos puntos en la circunferencia que subtienden un ángulo central θ en el centro. El segmento recto que une esos puntos es la cuerda; el arco entre ellos es el arco circular; la distancia perpendicular desde el punto medio de la cuerda hasta el arco es la sagitta.

Por simetría, la línea del centro a través del punto medio de la cuerda es también la bisectriz del ángulo central, de modo que cada lado de la figura es un triángulo rectángulo con hipotenusa r y semiángulo en el vértice α igual a θ entre dos. El cateto adyacente de ese triángulo rectángulo es r por el coseno de α, que es la distancia del centro a la cuerda.

Restar esa distancia al radio deja la sagitta: s igual a r menos r coseno α, que se factoriza como r por uno menos coseno α. La función trigonométrica uno menos coseno es el verseno clásico, por lo que la sagitta suele llamarse altura verseno del arco: s igual a r por versin de α.

Cuando α es cero la cuerda se colapsa a un punto y la sagitta es cero; cuando α es noventa grados la cuerda corresponde a un semiángulo de diámetro y la sagitta iguala el radio completo; un semiángulo de noventa grados ya recupera s igual a r. La fórmula usa solo una evaluación de coseno tras una conversión opcional de grados a radianes, de modo que no hay iteración, muestreo, dependencia del reloj ni necesidad de coordenadas o de una integral de longitud de arco en la entrada.

La longitud de la cuerda se obtiene de inmediato como dos r seno α, y las identidades producto permiten a los estudiantes recomputar cada campo a mano para semiángulos cómodos como treinta, cuarenta y cinco y sesenta grados.

Consejos prácticos, límites y diferencias con herramientas afines

El semiángulo puede ser cualquier valor real finito; el coseno es par, así que un semiángulo negativo produce la misma magnitud de sagitta que su valor absoluto, lo cual es útil cuando una exportación CAD firma el semiángulo según la orientación.

Al enseñar, prefiera ejemplos emparejados: radio diez y treinta grados para la comprobación de cuerda equilátera frente a uno menos raíz de tres entre dos; radio uno y sesenta grados para un alzado corto que los estudiantes pueden recomputar en una calculadora científica; y un radio negativo para demostrar el camino de rechazo duro exigido por este contrato de producto.

Como la identidad principal solo necesita r y α, los alumnos pueden despejar el radio cuando conocen sagitta y semiángulo, o resolver α con un arcoseno coseno, fuera de este extremo —esta herramienta no invierte a propósito—.

Este aterrizaje apunta a quienes buscan una calculadora de sagitta o una herramienta de altura verseno de arco circular; no es una calculadora de longitud de cuerda (aunque la longitud de cuerda se devuelve como campo de conveniencia), ni de área de segmento circular, ni de longitud de arco o área de sector —use las capacidades dedicadas cuando esas magnitudes sean la intención de búsqueda principal—. Prefiera esta página cuando ya conozca el radio y el semiángulo y necesite el alzado del arco.